例3．8 用迭代法求解线性离散系统的状态方程
1 0 0 x (kT ) u ( kT ) x( kT T ) 0.4 0.3 1 y ( kT ) 0 1x ( kT ) x1 (0) 1 1 k 0 x(0) x (0) 1，u (kT ) 0 k 0 2
yp
图3.1 线性连续系统的变量关系
状态变量、控制变量和输出变量的向量表达式
x1 (t ) x (t ) 2 x(t ) xn (t )
u1 (t ) u (t ) 2 u (t ) um (t )
线性离散系统的解式(3—75)
可以用状态转移矩阵来表示，即
k 1 xkT kT x0 (kT jT T )Gu(kT ) j 0 (3 78) k 1 ykT CkT x0 C (kT jT T )Gu(kT ) Du(kT ) j 0
an 1 an 2
x1 (kT ) x (kT ) y (kT ) 1 0 0 0 2 x ( kT ) n
例题3.1 线性离散系统的差分方程为：
y (kT 4T ) 3 y (kT 3T ) 5 y (kT 2T ) 4 y (kT T ) 6 y (kT ) 2u (kT ) 试导出离散状态空间表 达式。 解：由差分方程知： n 4，m 0，p 1。 a0 1，a1 3，a2 5，a3 4，a4 6，b0 2。可知 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 G C 1 0 0 0 F 0 0 0 0 1 6 4 5 3 2
由式(3—26)及(3—28)可得
x1 (kT T ) a1 x1 (kT ) a2 x2 (kT ) an xn (kT ) u (kT ) 输出方程为： y (kT ) b1 x1 (kT ) b2 x2 (kT ) bn xn (kT ) 由此可得状态空间表达 式 x(kT T ) Fx(kT ) Gu(kT ) y (kT ) Cx (kT ) Du(kT )
初值x(0)，u (0)。 以k 0， 1， 2， ，代入 x(T ) Fx(0) Gu(0) x(2T ) Fx(T ) Gu(T ) F 2 x(0) FGu(0) Gu(T ) x(3T ) F 3 x(0) F 2Gu(0) FGu(T ) Gu(2T ) x(kT ) F k x(0) F k j 1Gu( jT )
离散状态空间表达式为：
1 0 0 x1 (kT ) 0 x1 (kT T ) 0 x (kT T ) 0 x (kT ) 0 0 1 0 2 u (kT ) 2 x3 (kT T ) 0 0 0 1 x3 (kT ) 0 x4 (kT T ) 6 4 5 3 x4 (kT ) 2 x1 (kT ) x (kT ) y (kT ) 1 0 0 0 2 x3 (kT ) x ( kT ) 4
(3 - 28)
对(3—28)作z反变换得
x2 (kT T ) x1 (kT ) x (kT T ) x (kT ) 3 2 x (kT T ) x (kT ) n2 n 1 xn (kT T ) xn 1 (kT )
(3 - 29)
线性离散系统的状态变量图如图3．2所示
D
u(kT )
G
x(kT T )

I Z
x(kT )
C

y(kT )
F
图3 2
线性离散系统状态变量 结构图
3.2.1 由差分方程导出离散状态空间表达式
对于单输入—单输出的线性离散系统， 可以用n阶差分方程来描述
y(T nT ) a1 y(kT nT T ) an y(kT ) b0u(kT mT) b1u(kT mT T ) bmu(kT ) (3 - 8)
y1 (t ) y (t ) 2 y (t ) y p (t )
状态空间表达式
连续系统的状态空间表达式为
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x y(t ) Cx(t ) Du(t ) (3 4) (3 5)
解：令k＝0，1，2．…，及初始条件代入 离散状态空间表达式，可以得到
其中
a1 1 F 0 0 a2 an 1 0 0 0 0 0 1 an 0 0 0 1 0 G 0 0 D0
C b1 b2 bn 1 bn
第 3章
离散系统的离散状态空间分析法
安徽工业大学自动化系
马鞍山 243002
主要内容：
1. 线性离散系统的离散状态空间表达式 2. 由差分方程导出离散状态空间表达式 3. 由z传递函数建立离散状态空间表达式 4. 线性离散系统离散状态方程的求解 5. 线性离散系统的Z传递矩阵与特征方程 6. 用离散状态空间法分析系统的稳定性
由式(3-11)可得
x1 (kT T ) y (kT T ) x2 (kT ) x2 (kT T ) y (kT 2T ) x3 (kT ) x3 (kT T ) y (kT 3T ) x4 (kT ) xn (kT T ) y (kT nT ) an x1 (kT ) an 1 x2 (kT ) a1 xn (kT ) b0u (kT )
A，B，C，D是定常的系数矩阵。 式(3—4)称为状态方程，式(3—5)称为输出方程。 与线性连续系统类似，线性离散系统的离散状态 空间表达式可以表示为
x(kT T ) Fx(kT ) Gu(kT ) y(kT ) Cx(kT ) Du(kT ) (3 6) (3 7)
式(3—6)称为状态方程，式(3—7)称为输出方程。
例3.3 设线性离散系统的Z传递函数
2z 2 5z 1 ( z) 2 GC z 3z 2 试求系统的离散状态空 间表达式。 z 3 z 2 3z 2 由公式可得离散状态空 间表达式 ( z ) b0 GC ( z ) 2 解：GC x1 (kT T ) 3 2 x1 (kT ) 1 u (kT ) 0 x2 (kT ) 0 x2 (kT T ) 1 x1 (kT ) y (kT ) 1 3 2u (kT ) x2 (kT )
系统的状态变量如图3．4所示
3．3 线性离散系统离散状态方程的求解
线性离散系统的离散状态方程是由 高阶差分方程化为一阶差分方程组得到 的，所以求解差分方程的方法可以适用 于求解离散状态方程。通常离散状态方 程的求解方法有 迭代法 Z变换法。
1．迭代法
设线性离散系统的离散 状态空间表达式为 x(kT T ) Fx(kT ) Gu(kT ) y (kT ) Cx (kT ) Du(kT )
1. 当m=0,即控制变量不包含高于一阶的差分
y(kT nT ) a1 y(kT nT T ) an y(kT ) b0 mu(kT ) (3 -10)
选择状态变量
x1 (kT ) y (kT ) x (kT ) y (kT T ) 2 x3 (kT ) y (kT 2T ) xn (kT ) y (kT nT T ) (3 - 11)
3.2.2 由z传递函数建立离散状态空间表达式
一个线性离散系统可以用Z传递函数来 表征，当系统的Z传递函数知道时，便可以 建立该系统的离散状态空间表达式。 由z传递函数建立离散状态空间表达式， 通常有: 直接程序法 分式展开法 迭代程序法 嵌套程序法。
1．直接程序法
设线性离散系统的Z传递函数
b1 z 1 b2 z 2 bn z n Gc ( z ) 1 a1 z 1 a2 z 2 an z n
由式(3—26) 式(3—27)可画出状态变量图
由图3.3可选择状态变量
x1 ( z ) z 1Q( z ) 2 1 x ( z ) z Q ( z ) z x1 ( z ) 2 x ( z ) z n 1Q( z ) z 1 x ( z ) n2 n 1 n 1 x ( z ) z Q ( z ) z xn 1 ( z ) n
令 可得 Q( z ) U ( z ) a1 z 1Q( z ) a2 z 2Q( z ) an z nQ( z ) Y ( z ) b1 z 1Q( z ) b2 z 2Q( z ) bn z nQ( z ) Q( z ) y ( z ) /(b1 z 1 b2 z 2 bn z n ) U ( z ) /(1 a1 z 1 a2 z 2 an z n )
(3 - 12)
写成矩阵形式
x1 (kT T ) 0 x (kT T ) 0 2 x ( kT T ) n an 1 0 0 1 0 x1 (kT ) 0 x (kT ) 0 0 2 u (kT ) 0 a1 xn (kT ) b0
3．1 概述
离散状态空间分析法优点： (1)离散状态空间表达式适宜于计算机求解。 (2)离散状态空间分析法对单变量和多变量 系统允许用统一的表示法 (3)离散状态空间分析法能够应用于非线性 系统和时变系统。