2.z变换法求解 三、线性定常连续系统状态空间表达式的离散化
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§9-4 线性控制系统的能控性和能 观测性
一、能控性
1.定义
2.线性定常连续系统能控性判据
1)能控性判据的第一种形式
能控性判据定理一：线性定常连续系统Σ(A,B)，其状态完
全能控的充要条件是由A,B阵所构成的能控性判别阵
Qc=[B,AB,…An-1B]
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§9-5 李雅普诺夫稳定性分析方法
态。 2.渐近稳定性 3.大范围内的渐近稳定 对于所有的状态(即状态空间中的所
有各点)，如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定，则这时 的平衡状态称为是大范围内渐近稳定的。
4.不稳定 三、李雅浦诺夫第二方法
李雅浦诺夫第二方法不用求解系统运动方程，而用此法可 直接判别系统平衡状态的稳定性。故又称直接法。
二、能观测性 1.定义 2.线性定常连续系统能观测性判据
三、能控性和能观测性的不变性 四、传递函数中零极点对消与状态能控性和能观测性之间的关 系
系统的传递函数所表征的只能是既能控有能观测的子系 统。由于系统不能控或不能观测部分的运动无法用传递函数反 映出来，若没有反映出来的部分有不稳定的运动模式，那么系 统实际上将会有“潜伏振荡”发生，这是用传递函数来描述系
第九章 状态空间分析方法基础
§9-1 控制系统的状态空间描述 §9-2 线性定常连线系统状态方程的解 §9-3 线性离散系统状态空间表达式 §9-4 线性控制系统的能控性和能观测性 §9-5 李雅普诺夫稳定性分析方法 §9-6 状态反馈与状态观测器 §9-7 解耦控制
§9-1 控制系统的状态空间描述
1.预备知识 2.李雅浦诺夫第二方法的几个定理——稳定性判据
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§9-6 状态反馈与状态观测器
一、系统的状态反馈 1.状态反馈的基本形式 图9-20时状态反馈系统的基本形式。 2.状态反馈的能控性
二、极点配置 1.极点配置的条件 能使闭环系统极点任意配置的条件是被控
系统完全能控。 2.几点说明 1)对能控的单输入单输出系统，采用状态反馈后虽可使其闭
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§9-1 控制系统的状态空间描述
态变量x1,x2,…,xn,用这n个状态变量作为分量所构成的向量， 就称为该系统的状态向量。
4.状态空间 以各状态变量x1,x2…,xn为坐标轴所组成的n为 空间称为状态空间。 二、控制系统的状态空间描述——状态空间表达式
1.状态方程 系统输出引起状态的变化，它是一个运动过 程，描述这个运动过程的是状态方程。状态方程的数学形式表 征为系统状态变量变化率的一阶系统传递函 数求其相应的状态空间表达式，称为“实现”问题。实现问题 是现代控制理论中的一个重要问题，这是因为：第一，许多设 备的传递函数往往容易通过实验获得，为了用状态空间方法研
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§9-1 控制系统的状态空间描述
究系统，就必须把传递函数化为状态空间表达式；第二，对复 杂系统的设计往往要利用仿真技术，将其传递函数化为状态空 间描述后在进行仿真的重要方法之一；第三，从传递函数中一 旦获得了状态空间表达式，便可以采用运算放大器等电路构造 一个具有该传递函数的实际系统，这也是“实现”这个取名的 原因所在。另外，实现问题在建立状态空间与传递函数这两种 设计方法之间的联系有着重要的作用。 四、状态方程的线性变换
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§9-4 线性控制系统的能控性和能 观测性
统的局限性。 五、线性系统能控性与能观测性的对偶关系
1.线性定常系统的对偶关系 2.对偶原理 六、系统动态方程的能控规范型和能观测规范型 1.线性系统能控规范型 1)线性系统能控规范型的形式 2)能控系统化成能控规范型的方法 2.线性系统能观测规范型 1)线性系统能观测规范型的形式 2)能观测系统化成能观测规范型的方法
1.根据系统的物理机理直接建立状态空间表达式 一般常见 的控制系统，就其物理属性而言，有电气的、机械的、机电
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§9-1 控制系统的状态空间描述
的、液压的、热力的等等。根据其物理定律，如基尔霍夫定 律、牛顿定律、能量守恒定律、热力学定律等，即可建立系统 的状态方程；当指定系统的输出后，可写出系统的输出方程。
1.全维状态观测器的结构
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§9-6 状态反馈与状态观测器
2.全维状态观测器的特性 3.全维状态观测器的极点配置 1)状态观测器极点可任意配置的条件 2)反馈矩阵G的选取原则 3)观测器反馈矩阵G的计算方法 四、带观测器的状态反馈系统 1.带观测器的状态反馈系统的结构设计 2.分离特性 3.带观测器的状态反馈系统的输入输出
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§9-2 线性定常连线系统状态方程 的解
一、线性定常连续系统齐次状态方程的解 1.直接求解法 2.用拉氏变换方法求解
二、状态转移矩阵 1.状态转移矩阵的概念 2.状态转移矩阵的性质 3.线性定常连续系统状态转移矩阵的几种算法
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§9-2 线性定常连线系统状态方程 的解
1)根据矩阵指数函数的定义式计算 2)把eAt化为A的有限项表达式进行计算 3)利用拉氏变换法进行计算 4)利用对角线规范性或约当规范型进行计算 三、线性定常连续系统非齐次状态方程的解 1.直接求解法 2.拉氏变换求解法
3)利用输出反馈和调整系统的开环增益，只能使闭环极点沿 着一定得根轨迹移动，而利用状态反馈能使闭环系统任意配置 极点。这说明，状态反馈比一般的输出反馈对系统性能的综合
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§9-6 状态反馈与状态观测器
更为方便。但在实际上实现起来，状态反馈比输出反馈要来的 复杂。
4)对单输入单输出系统，在一般情况下，利用状态反馈使闭 环系统极点与又性能指标给出的希望极点相一致的方法，以达 到改善系统性能的目的，是行之有效的。但状态反馈只能改变 极点的位置，却不能改变系统极点的个数和系统零点的位置， 有时单靠状态反馈是达不到系统动、静态要求的，所以还须采 取多种方法对系统进行综合。
一、状态空间的基本概念 1.状态 控制系统的状态是指能完全描述系统动态行为(动态
状态)的一个最小变量组，它是时间的函数。所谓最小变量组是 指这个变量组中各变量之间是相互独立的。
2.状态变量 状态变量是指能完全描述系统行为的最小变量 组的每一个变量。
3.状态向量 若完全描述与各给定系统的动态行为需要n个状
能控性判据定理三 此定理的基本思路和依据是：第一，因 矩阵经线性非奇异变换后，不改变矩阵的秩，因而也不改变系 统的能控性；第二，把系统变成约当规范型，并将n个状态变量 按照特征值分成k组，使各组之间没有耦合关系。这样，要保证 系统能控，必须每组的状态变量都受u的控制。
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§9-4 线性控制系统的能控性和能 观测性
环系统的极点任意配置，但状态反馈不影响系统的零点，也不 改变系统的阶次。
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§9-6 状态反馈与状态观测器
2)当系统的开环传递函数分子分母没有公因子时，则开环系 统是能控且能观测的；系统采用状态反馈后，其能控性不变， 这是前面已讲过的结论。但是，由于单输入单输出系统采用状 态反馈后，其零点不受影响，而其极点可以任意配置，因此， 闭环系统的传递函数可能出现分子分母有公因子，产生零极点 相消现象，从而使系统变成不能观测。这就提出了前面曾提出 的为什么状态反馈不一定能保持系统能观测性不变的问题。
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§9-1 控制系统的状态空间描述
1.系统状态空间表达式的非唯一性 2.系统特征值的不变性及系统的不变量 对线性定常系统， 系统的特征值决定了系统的基本特性。 3.化状态方程为对角线规范型 化状态方程为某种形式的规 范型，是通过非奇异变化来实现的，所以求取该非奇异变化矩 阵是解决状态方程转化为某些规范型的关键。 4.化状态方程为约当规范型 五、状态空间表达式与传递函数阵间的变换
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§9-3 线性离散系统状态空间表达式
一、线性离散系统的状态空间表达式 线性定常离散系统状态空间表达式的结构图如图9-16所
示。 二、线性定常离散系统状态方程的解
1.迭代法求解 迭代法是一种递推的数值解法，其思路是：利 用初始时刻t0=0(即k=0)时的x(0)和u(0)求x(1)；再根据求出的 x(1)和给定的u(1)求x(2)；如此逐步迭代，即可求得所需的 x(k)。此法适于在计算机上求解。
必须满秩。即
rankQc=n
n是该系统的维数。
(9-128) (9-129)
2)能控性判据的第二种形式
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§9-4 线性控制系统的能控性和能 观测性
能控性判据定理二 此定理的基本思路和依据有两点：第 一，因矩阵经线性非奇异变换后，并不改变矩阵的秩，因而也 不改变系统的能控性；第二，对系统进行线性非奇异变换把状 态方程化成对角线规范型，使变换后的各状态变量之间没有耦 合关系，因此，影响每一个状态变量的唯一途径只是输入的控 制作用。
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§9-5 李雅普诺夫稳定性分析方法
一、平衡状态 稳定性指的是系统处于平衡状态下，受扰动后，系统自由
运动的性质。因此，系统的稳定性都是相对系统的平衡状态而 言的。 二、李雅浦诺夫意义上的稳定性
1.李雅浦诺夫意义上的稳定性 如果对应于每一个球域S(δ)，使得当t无限增加时，从初
始条件S(δ)域内开始出发的轨迹(即 x=f(x,t)的解)，都不超 出S(ε),则称这一系统的平衡状态xe在李雅浦诺夫意义下是稳定 的。如果δ与t0无关，则称这一种平衡状态为一致稳定的平衡状
3.状态空间表达式 状态空间和输出方程总合起来，构成一 个系统动态的完整描述，称为系统的状态空间表达式(或称动态
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§9-1 控制系统的状态空间描述
方程)。 4.状态空间描述的模拟结构图(或称状态变量图) 状态方程
和输出方程可以利用模拟计算机的模拟结构图表达出来，它能 形象地反映系统输入、输出和系统专题态变量之间的相互关 系。 三、状态空间表达式的建立