2、状态变量：
由于 xt0 和 vt0 表征系统在 t t0 时刻的状态，
故称它们为初始状态变量。
第一节 状态变量的描述
f t 已知 x t 0
计算出任意
t t0 时 ，xt 和 vt
v t0
系统具有记忆功能
结论：已知系统的初始状态和 t t0 时刻的输入，
就能唯一地确定系统未来的状态
式称为输出方程。 单输出线性定常系统输出方程的一般形式可表示为
y t C 1 x 1 t C 2 x 2 t C n x n t d t u
它表示系统的输出由两部分所组成：一部分是状态 变量的线性组合；另一部分是输入的直接传输。把上式 写成向量矩阵式为
y(t)C x(td)(tu )
C为系统的输出矩阵，对于单输出系统，C为1*n型行向量; D为入直接影响输出的传输系数。
第一节 状态变量的描述
3、单输入单输出系统的状态空间表达式 状态方程与输出方程合在一起称为系统状态空间表达式，
又称系统的动态方程。 4、状态模型图
单入单出系统的状态图
第一节 状态变量的描述
5、多输入、多输出线性定常系统的状态空间表达式
第9章-状态空间分析法
第9章 状态空间分析法
9.1 状态变量描述 9.2 传递函数与动态方程的关系 9.3 线性定常连续系统状态方程的解 9.4 线性定常离散系统的动态方程式 9.5 线性定常系统的能控性 9.6 线性定常系统的能观性 9.7 对偶性原理 9.8 状态观测器及其应用 9.9 李雅铺诺夫第二方法
第一节 状态变量的描述
状态变量的定义： 动力学系统的状态是表征系统全部行为的一组相互
独立的变量，组成这个变量组的元素称为状态变量。 3、状态向量的定义：
以状态变量为分量组成的向量称为状态向量。
令： x 1 t,x 2t, ,x nt 为系统的一组状态变量， 则 x t x 1 t,x 2 t, ,x n t为状态向量
第二节 传递函数与动态方程的关系
由动态方程求系统的传递函数 由传递函数列写动态方程
第二节 传递函数与动态方程的关系
一、由动态方程求系统的传递函数 1、单输入—单输出系统
设单输入—单输出线性定常系统的动态方程为
x为n×1型状态向量 A为n×n矩阵 b为n×1型列向量 C为1×n型行向量 y（t）和u（t）为标量 d为直接传输系数
设单输入线性定常系统的状态变量为
x 1 t,x 2t, ,x nt
则其一般形式的状态方程为
x1ta11x1ta12x2ta1nxntb1ut x2ta21x1ta22x2ta2nxntb2ut
xntan1x1tan2x2tannxntbnut
第一节 状态变量的描述
1、单输入单输出系统的状态方程
把上述方程组写成向量矩阵形式为：
x t A x t b u t
式中
x 1 x1
x
x
2
,
x
x2
x
n
xn
a 11 a 12 a 1 n
b1
A
a
21
a 22
a
2
n
,
b
b
2
a
n
1
an2
a nn
b
n
A为系统的系数矩阵 b为输入矩阵(控制矩阵）
第一节 状态变量的描述
2、单输入单输出系统的输出方程 系统的输出量与状态变量、输入变量间的数学表达
第一节 状态变量的描述
则得，
x2
写成向量矩阵的形式
式中
P为非奇异矩阵，通过非奇异矩阵P的变换，可将 状态变量x1、x2变换为一组新的状态变量
若变换矩阵P为任意的非奇异矩阵，则可变换出无数多 组状态变量和相应的动态方程，从而进一步说明了状态变 量选择的非唯一性。为了应用上的方便，通常总优先考虑 那些能被量测的物理量为状态变量。
表示成向量矩阵形式为：
输出方程为： （2）设状态变量
则
输出方程为：
式可改写为：
第一节 状态变量的描述
把上述方程改写为向量矩阵形式为：
由此可知，系统状态变量的选择不是唯一的。显然， 对应于不同的状态变量选择，所得到的动态方程也是不相同， 但它们都描述了同一系统。
讨论上述所选的两组状态变量间的内在关系 设
第一节 状态变量的描述
状态、状态变量 状态空间表达式
第一节 状态变量的描述
xt v t
m
dvt 1 f t
dt m
vt
vt0
1 m
t
t0
f
d
dxt vt
dt
f t xt
xt0 t
t0 vt0
1 m
tБайду номын сангаас
t
d
t0
t0
f
d
第一节 状态变量的描述
一、一般概念 1.状态：系统的状态就是系统过去、现在和将来的状况。 表征系统运动的信息。
第一节 状态变量的描述
系统状态量的选择虽不是唯一的，但选择一组状态 变量也是有条件。它必须具备下述的性质：
（1）在t时刻的状态向量x（t）是初始状态向量 xt0 和t t0
时的输入u（t）唯一确定。 （2）在t时刻的输出y（t）是由该时刻的状态向量x（t）和 输入u（t）唯一确定。
终上所述，用状态变量描述系统具有如下的特点： （1）系统的状态变量描述是系统输入、状态、输出诸变量间 的时域描述。 （2）输入引起系统内部状态的变化是一个动态过程，在数学 上用向量微分方程描述。输出方程是一个代数方程。 （3）一个系统的状态变量选择不是唯一的，一个n阶系统， 只能有n个状态变量，不能多也不能少。 （4）由于状态方程是一阶微分方程组，因而适用于计算机求 其数值解，或用计算机对系统进行分析研究。 （5）对于结构和参数已确定的系统，需要研究如何把已建立 的微分方程或传递函数转变为相应的动态方程。
第一节 状态变量的描述
多输入、多输出惯性系统的状态空间表达式
第一节 状态变量的描述
例9-1 已知一RLC电路如图9-4所示，ur和uc分别为电路 的输入与输出量。试选择两组状态变量，写出它们对应 的动态方程式。
解：由基尔霍夫定律得：
则上式可改写为：
（1）设状态变量
x1uc
1 C
id,tx2
i
第一节 状态变量的描述
第一节 状态变量的描述
4、状态空间 状态向量所有可能值的集合称为状态空间。系统在任
一时刻的状态都可用状态空间中的一点表示。
5.状态方程
状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量间的数 学表达式称为状态方程
第一节 状态变量的描述
二、状态空间表达式
n阶系统应有n个独立的状态变量，对应的状态方程是 n个联立的一阶微分方程。