高中数学公式大全（简化版）目录1 集合与简易逻辑 (01)2 函数 (03)3 导数及其应用 (09)4 三角函数 (11)5 平面向量 (13)6 数列 (14)7 不等式 (15)8 立体几何与空间向量 (17)9 直线与圆 (20)10圆锥曲线 (23)11排列组合与二项式定理 (25)12统计与概率 (26)13复数与推理证明 (29)§01. 集合与简易逻辑1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2．集合运算 全集U ：如U=R交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或 补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且 3．集合关系 空集A ⊆φ子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈ B A B B A BA AB A ⊆⇔=⊆⇔=注：数形结合---文氏图、数轴 4. 包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6. 真值表7. 常见结论的否定形式8. 四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝原命题与逆否命题真假相同 否命题与逆命题真假相同9. 充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.§02. 函数1. 函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.对于复合函数的单调性：()f g x ⎡⎤⎣⎦ 同增异减（即()f x 与()g x 的增减性相同，那么符合函数就是增函数（同增）；()f x 与()g x 的增减性相反，那么符合函数就是减函数（异减））(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 2．函数的奇偶性判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称。

f(x)偶函数⇔()()f x f x -=⇔f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f(x)图象关于原点对称 注：①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0 对于复合函数：()f g x ⎡⎤⎣⎦ 内偶则偶，两奇为奇 奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项的系数全为零.（常数按偶次项看待) 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项的系数全为零. 3. 函数的周期性T 是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T ）（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠, 4. 函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- 两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1. 几中常见抽象函数原型(1)()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.正比例函数()f x cx =(2)()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.指数函数()x f x a =(3)()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.对数函数()log a f x x = (4)'()()(),(1)f xy f x f y f α==.幂函数()f x x α=(5），()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==. 余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x = 5. 二次函数 解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a bx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =， []q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 6. 指数函数与对数函数 y=a x与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性注：y=a x与y=log a x 图象关于y=x 对称（互为反函数） 分数、指数、有理数幂m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）；1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.na =；当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. 有理指数幂的运算性质(0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.()(0,,)r s rsa a a r s Q =>∈.()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.注：性质01log =a 1log =a a N aNa =log常用对数N N 10log lg =，15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =，1ln =e 7. 函数图像与方程描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调） 取特殊点如零点、最值点等 图象变换平移：“左加右减，上正下负”)()(h x f y x f y +=→=伸缩：)1()(x f y x f y ϖϖ=−−−−−−−−→−=倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y y x --=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴注：)(x f y =ax =→直线)2(x a f y -=翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分，并将右边部分沿y 轴翻折到左边零点定理若0)()(<b f a f ，则)(x f y =在),(b a 内有零点 （条件：)(x f 在],[b a 上图象连续不间断） 注：①)(x f 零点：0)(=x f 的实根②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(<b f a f则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点 ③二分法判断函数零点---0)()( b f a f ？§03. 导数及其应用1．导数几何意义)(x f 在点x 0处导数)(0'x f ：指点x 0处切线斜率 2．导数公式0)(='C （C 为常数） 1)(-⋅='n n x n x x x cos )(sin =' x x sin )(cos -='x x e e =')( x x /1)(ln =' .)('''v u v u ±=± .)('''uv v u uv +=/⎪⎭⎫ ⎝⎛v u =2''v uv v u - 'x y ='u y .'x u 3．导数应用单调性：如果0)('>x f ，则)(x f 为增函数如果0)('<x f ，则)(x f 为减函数极大值点：在x 0附近)(x f “左增右减↗↘” 极小值点：在x 0附近)(x f “左减右增↘↗”注0)(0'=x f求极值：)(x f 定义域→)('x f →)('x f 零点→列表：x 范围、)('x f 符号、)(x f 增减、)(x f 极值求[a ，b]上最值：)(x f 在(a ，b)内极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较4．三次函数d cx bx ax x f +++=23)( c bx ax x f ++=23)(2/图象特征：“↗↘↗” “↘↗↘”0,0>∆>a 0,0>∆<a极值情况:)(0x f ⇔>∆有极值)(0x f ⇔≤∆无极值5．定积分定理：)()()(a F b F dx x f ba -=⎰其中)()('x f x F = 性质：⎰⎰=ba ba dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）⎰⎰⎰±=±bab abadx x g dx x f dx x g x f )()()()(应用：② 直线x ＝a ，x ＝b ，x 轴及曲线y ＝f(x)(f(x)≥0)围成曲边梯形面积⎰=badx x f S )(②如图，曲线y 1＝f 1(x)，y 2＝f 2(x)在[a ，b]上围成图形的面积S ＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝⎰⎰-babadxx f dx x f )()(21§04. 三角函数1．特殊角的三角函数值α0 6π 4π 3π 2π π23π sin α21 22 23 11-cos α1 23 22 21 01-tg α33 13/ 0 /2．弧长 r l ⋅=α 扇形面积lr S 21=3. 同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 4. 正弦、余弦的诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）；符号：“一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5. 和差角公式6. 二倍角公式sin 2sin cos ααα= . 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.7. 辅助角公式sin cos a b αα+22)a b αϕ++(其中tan baϕ=，a 要为正 ). 8. 正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 2sinαcosα9. 余弦定理2222cos a b c bc A =+-;（求边） cos A =bca cb 2222-+（求角）2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.10. 面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.11．三角函数的图象性质y=sinxy=cosxy=tanx图象单调性： )2,2(-增 ),0(π减 )2,2(-增sinx cosx tanx 值域 [-1，1] [-1，1] 无 奇偶 奇函数偶函数奇函数 周期 2π2ππ对称轴 2/ππ+=k xπk x =无中心 ()0,πk()0,2/ππk + ()0,2/πk注：Z k ∈§05. 平面向量1. 实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，量那么结合律：λ(μa)=(λμ)a ; (λ+μ)a =λa +μa ; λ(a +b )=λa +λb . 2.平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a=(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 3. a 与b 的数量积(或内积) a ·b=|a ||b|cos θ．a ·b 的几何意义 数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 4. 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a=λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.5. 两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b=22(,)x y ).6. 向量的平行与垂直设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则平行：⇔b a //b a λ=⇔1221y x y x =（0≠b ） 垂直：0=⋅⇔⊥b a b a 02121=+⇔y y x x 7. 三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.§06. 数 列1. 等差数列定义：d a a n n =-+1 通项：d n a a n )1(1-+= 求和：2)(1n n a a n S += d n n na )1(211-+= 中项：2ca b +=（c b a ,,成等差） 性质：若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+2. 等比数列 定义：)0(1≠=+q q a a nn通项：11-=n n q a a求和：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn中项：ac b =2（c b a ,,成等比）性质：若q p n m +=+ 则q p n m a a a a ⋅=⋅ 3. 数列通项与前n 项和的关系⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n ( 数列{}n a 的前n 项的和为12nn s a a a =+++).4. 数列求通项常用几种方法累加、累乘、取倒数、待定系数、构造辅助数列。