高中数学公式大全（最新整理版）1、二次函数的解析式的三种形式(1)一般式f (x ) = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) ; (2)顶点式f (x ) = a (x - h )2 + k (a ≠ 0) ; (3)零点式f (x ) = a (x - x 1 )(x - x 2 )(a ≠ 0) .2、四种命题的相互关系原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否； 逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否； 否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆； 逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否 § 函数f (x ) = - f (-x + a )y = f (x )a ( ,0)2 1、若,则函数的图象关于点对称;若 f (x ) = - f (x + a ) ,则函数 y = f (x ) 为周期为2a 的周期函数.2、函数 y = (1) 函数y = f (x ) 的图象的对称性f (x ) 的图 x = a 象关于直线对称⇔ f (a + x ) =f (a - x )⇔ f (2a - x ) = f (x ) .(2) 函数y = f (x ) 的图象关于直线x =a + b2 对称⇔ f (a + mx ) =f (b - mx )⇔ f (a + b - mx ) = f (mx ) .3、两个函数图象的对称性(1) 函数y = f (x ) 与函数 y = f (-x ) 的图象关于直线 x = 0 (即 y 轴)对称.x =a + b(2) 函数 y = f (mx - a )与函数 y = f (b - mx ) 的图象关于直线2m 对称.(3) 函数 y = f (x ) 和y = f -1(x ) 的图象关于直线 y=x 对称. 4、若将函数 y = f (x ) 的图象右移 a 、上移b 个单位，得到函数 y = f (x - a ) + b 的图象；若将曲线 f (x , y ) = 0 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线 f (x - a , y - b ) = 0 的图象.5、互为反函数的两个函数的关系： f (a ) = b ⇔ f -1(b ) = a .y = 1[ f -1 (x ) - b ]6、 若 函 数 -y = f (kx + b ) 存 在 反 函 数 ,则 其 反 函 数 为 k y = 1[ f (x ) - b ],并 不 是y = [ f 1 (kx + b ) ,而函数y = [ f -1 (kx + b ) 是k 的反函数.7、几个常见的函数方程(1)正比例函数 f (x ) = cx , f (x + y ) = f (x ) + f ( y ), f (1) = c .(2)指数函数 f (x ) = a x, f (x + y ) = f (x ) f ( y ), f (1) = a ≠ 0 .(3)对数函数f (x ) = log a x , f (xy ) = f (x ) + f ( y ), f (a ) = 1(a > 0, a ≠ 1) .(4)幂函数 f (x ) = x ,f (xy ) = f (x ) f ( y ), f ' (1) =.(5)余弦函数 f (x ) = cos x ,正弦函数 g (x ) = sin x ， f (x - y ) = f (x ) f ( y ) + g (x )g ( y ) ，§ 数 列⎨ ⎨ ≠ = ⎩⎩n⎩ ⎩ 1、数列的同项公式与前 n 项的和的关系a = ⎧s 1, ns - s n = 1 , n ≥ 2{ a } s = a + a + + a ⎩ n n -1 ( 数列 n 的前 n 项的和为 n1 2 n ). a = a + (n -1)d = dn + a - d (n ∈ N *)2、等差数列的通项公式n11； 其前 n 项和公式为s = n (a 1 + a n ) = na + n (n -1) d = d n 2 + (a - 1 d )n n 2 12 2 1 2 .a = a q n -1 = a1 ⋅ q n (n ∈ N *) n 1 q3、等比数列的通项公式 ；其前 n 项的和公式为⎧ a (1- q n ) ⎧ a - a q ⎪ 1 , q ≠ 1 ⎪1 n , q ≠ 1 s n = ⎨ 1- q s n = ⎨ 1- q ⎪na , q = 1 ⎪na , q = 1⎩ 1 或 ⎩ 1 .4、等比差数列{a n }: a n +1 = qa n + d , a 1 = b (q ≠ 0) 的通项公式为⎧b + (n -1)d , q = 1 a = ⎪ b q n + (d - b )q n -1 - d , q 1 ⎪ q -1 ；其前 n 项和公式为⎧nb + n (n -1)d , (q = 1) ⎪ s n ⎨(b - d 1- q nd ) +n ,(q ≠ 1) ⎪ 1- q q -1 1- q .§ 三角函数1、同角三角函数的基本关系式sinsin 2+ cos 2= 1， tan = cos ， tan ⋅ cot = 1 . 2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）⎧ nn ⎪(-1)2 sin , (n 为偶数) sin( 2 +) = ⎨ n -1⎪(-1) 2 co s , ⎧ n(n 为奇数)(n 为偶数)n ⎪(-1)2 co s ,co s( 2 +) = ⎨ n +13、和角与差角公式⎪(-1) 2sin , (n 为奇数)sin(± ) = sin cos ± cos sin ; cos(± ) = cos cos sin sin ;tan(± ) = tan ± tan1 tantan.sin(+ ) sin(- ) = sin 2- sin 2(平方正弦公式);cos(+) cos(-) = cos 2- sin 2 .a s in+ b c os= +) (辅 助 角 所 在 象 限 由 点 (a , b ) 的 象 限 决 定 ,a 2 +b 21 2 (| OA | ⋅ | OB |) - ( 2 OA OB ⋅ ) 2 d =tan= b a ).4、二倍角公式sin 2= sincos.cos 2= cos 2- sin 2= 2 cos 2-1 = 1- 2 sin 2.tan 2=2 tan1- tan 2 .5、三倍角公式sin 3= 3sin - 4 s in 3= 4 s in -+)sin() sin(33.cos 3= 4 cos 3- 3cos = 4 cos- +)cos( ) cos(3 3 .3 t an - t an 3tan 3= = tan tan( 1- 3 tan26、三角函数的周期公式-) tan( 33+).函数 y = sin(x +) ，x ∈R 及函数 y = cos(x +) ，x ∈R(A,ω,为常数，且 A ≠0，ω＞0)T =2的周期 ；x ≠ k +∈ ZT =y = tan(x +)2, k函数，(A,ω, 为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期 .7、正弦定理 8、余弦定理asin A = b sin B =c sin C = 2R .a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos A ; b 2 = c 2 + a 2 - 2ca cos B ; c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C .9、面积定理S = 1 ah = 1 bh = 1 ch（1）2 a 2 b 2 c （ h a 、h b 、h c 分别表示 a 、b 、c 边上的高）.（2）S S = 1 ab sin C = 1 bc sin A = 1 ca sin B2 2 2 . = ∆OAB(3) .§平面向量1、两向量的夹角公式cos=2、平面两点间的距离公式(a =(x 1 , y 1 ) ,b =(x 2 , y 2 ) ). A ,B =| AB | = (A(x 1 , y 1 )，B (x 2 , y 2 ) ).3、向量的平行与垂直x 1 x 2 + y 1 y 2x 2 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 1 1 2 2AB ⋅ A B (x - x )2 + ( y - y )2 2 1 21OA + OB + OC = 0 OA ⋅ O B = OB ⋅ O C = OC ⋅ O A 设 a =(x 1 , y 1 ),b =(x 2 , y 2 )，且 b ≠ 0，则a ||b⇔ b =λa ⇔ x 1 y 2 - x 2 y 1 = 0 . a⊥ b (a ≠ 0) ⇔ a ·b =0 ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 .4、线段的定比分公式设 P 1 (x 1 , y 1 ) ， P 2 (x 2 , y 2 ) ， P (x , y ) 是线段 P 1P 2 的分点,是实数，且 P 1P = PP 2 ，则 ⎧x = x 1 + x 2 ⎪1+ ⎨y + y⎪ y = 1 2 ⎩⎪ 1+ ⇔ OP =OP 1 + OP 2 1+ ⇔ OP = tOP 1 + (1- t )OP 2 （ t = 1 1+ ）.5、三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为A(x 1,y 1 )B(x 2 ,y 2 ) C(x 3 ,y 3 )G (x 1 + x 2 + x 3 , y 1 + y 2 + y 3) 3 3 .、 、 ,则△ABC 的重心的坐标是6、 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为∆ABC 所在平面上一点，角 A , B , C 所对边长分别为a ,b ,c ，则 O ∆ABC⇔ 2 2 2 （1） 为 的外心OA = OB = OC . （2）O 为∆ABC 的重心⇔ .（3） O 为∆ABC 的垂心⇔ .（4） O 为∆ABC 的内心⇔ aOA + bOB + cOC = 0 . O ∆ABC ⇔（5） 为 的∠A 的旁心 §直线和圆的方程 k = y 2 - y 1aOA = bOB + cOC .1、斜率公式x 2 - x 1 （P 1 (x 1 , y 1 ) 、 P 2 (x 2 , y 2 ) ）.2、直线的五种方程（1） 点斜式 y - y 1 = k (x - x 1) (直线l 过点 P 1 (x 1 , y 1 ) ，且斜率为k )．（2） 斜截式y = kx + b (b 为直线l 在 y 轴上的截距).（3） 两点式 y - y 1 y 2 - y 1 = x - x 1x 2 - x 1 ( y 1 ≠ y 2 )( P 1 (x 1 , y 1 ) 、P 2 (x 2 , y 2 ) ( x 1 ≠ x 2 )).(4)截距式 x + y = 1 a b( a 、b 分别为直线的横、纵截距， a 、b ≠ 0 ) （5）一般式 Ax + By + C = 0 (其中 A 、B 不同时为 0).3、两条直线的平行和垂直 (1)若l 1 : y = k 1 x + b 1 ， l 2 : y = k 2 x + b 2① l 1|| l 2 ⇔ k 1 = k 2 , b 1 ≠ b 2 ; ② l 1⊥ l 2 ⇔ k 1k 2 = -1.(2)若l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 , l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,A 2 +B 2Aa + Bb + CA 2 +B 2 1+ k 20 0+ = > > y = b sin 1 2l || l ⇔ A 1 = B 1 ≠ C 1 ①A 2B 2C 2 ； ② l 1⊥ l 2 ⇔ A 1 A 2 + B 1B 2 = 0 ；d =4、点到直线的距离(点P (x 0 , y 0 ),直线l ：Ax + By + C = 0 ).5、圆的四种方程（1） 圆的标准方程（2） 圆的一般方程(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2. x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ( D 2 + E 2 - 4F ＞0). ⎧x = a + r c os ⎨y = b + r s in（3） 圆的参数方程 ⎩ .（4） 圆的直径式方程B (x 2 , y 2 ) ).(x - x 1 )(x - x 2 ) + ( y - y 1 )( y - y 2 ) = 0 (圆的直径的端点是 A (x 1 , y 1 ) 、6、直线与圆的位置关系直线 Ax + By + C = 0 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2的位置关系有三种: d > r ⇔ 交交d = ⇔ ∆ < 0 ; d = r ⇔ 交交⇔ ∆ = 0 d < r ⇔ 交交⇔ ∆ > 0 .其中. 7、圆的切线方程(1) 已知圆x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ．①若已知切点(x 0 , y 0 ) 在圆上，则切线只有一条， 其方程是x x + y y +D (x 0 + x ) +E ( y 0 + y ) +F = 00 0 2 2 .当 (x 0 , y 0 ) 圆 外 时 , x x + y y + D (x 0 + x ) + E ( y 0 + y ) + F = 00 02 2 表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点 的切线方程可设为y - y 0 = k (x - x 0 ) ，再利用相切条件求 k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线．③斜率为 k 的切线方程可设为 y = kx + b ，再利用相切条件求 b ，必有两条切线．(2) 已知圆 x 2 + y 2 = r 2．①过圆上的的圆的切线方程为 y = kx ± rP 0 (x 0 , y 0 ). 点的切线方程为 x x + y y = r 2 ;②斜率为k§圆锥曲线方程x 2 1、椭圆 a 2 y 2b 2 1(a b 0) ⎧x = a cos ⎨ 的参数方程是⎩ . x 2 + y 2 = > >= + a 2 = a 2-a 2b 21(a b 0) PF 1 e (x )c PF 2 e ( c x ) 2、椭圆 焦半径公式 ， . 3、椭圆的切线方程+ = > > a b - = > > - = > > = + 2 2y 2 1(a b 0) x 0 x + y 0 y = 1 (1) 椭圆 a 2 b 2 x 2 + y2 = > >上一点 P (x 0 , y 0 ) 处的切线方程是 a 2 b 2. 2 2 1(a b (2) 过椭圆x 0 x + y 0 y = 10) 外一点 P (x 0 , y 0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a 2 b 2 . x 2 + y2= > >a 2b 2 1(a b 0) Ax + By + C = 0 A 2a 2 + B 2b 2 =c 2(3) 椭圆 与直线 相切的条件是 . x 2 y 21(a 0, b 0)PF a = a 2 -a 2b 2 | e (x ) | 1c PF 2 | e ( c x ) | 4、双曲线 的焦半径公式 ，.5、双曲线的方程与渐近线方程的关系x 2 - y 2 =x 2 - y 2 = ⇔ b1 a2 b 2 ⇒ a 2 b 2 0 y = ± x a (1）若双曲线方程为 渐近线方程： . bx ± y =x 2 - y2 = λy = ± a x⇔ a b 0 ⇒ a 2 b 2 (2) 若渐近线方程为 双曲线可设为 . x 2 - y 2 = a 2 b 2 x 2 - y 2= λ a 2 b 2 λ > 0 (3) 若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在 x 轴上，λ < 0 ，焦点在 y 轴上）.6、 双曲线的切线方程2y 2 1(a 0, b 0) x 0 x - y 0 y = 1 (1) 双曲线 a 2 b 2 上一点 P (x 0 , y 0 ) 处的切线方程是 a 2 b 2 . x 2 - y2 = > >2 21(a （2）过双曲线x 0 x - y 0 y = 10, b 0) 外一点 P (x 0 , y 0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a 2 b 2 . x 2 - y 2= > >a 2b 2 1(a 0, b 0) Ax + By + C = 0(3)双 曲 线 与 直 线 相 切 的 条 件 是A 2a 2 -B 2b 2 = c 2 .CF = x + p7、抛物线 y 2 = 2 px 的焦半径公式：抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 焦半径2 .过焦点 CD = x + p + x + p= x + x + p弦长 1 2 2 221 2 .b 2 4ac - b 2 y = ax + bx + c = a (x + ) + 2a 4a (a ≠ 0)8、二次函数 的图象是抛物线：（1）顶点坐(- b标为 2a 4ac - b 2, ) 4a； （ 2） 焦点的坐标为 (- b 2a 4ac - b 2 +1 , ) 4a； （ 3） 准线方程是4ac - b 2 -1 y =4a .9、 抛物线的切线方程a b x 1 xnnnnx →∞ 设函数x 在点处有导数，函数⎪ (1)抛物线 y 2= 2 px 上一点 P (x 0 , y 0 ) 处的切线方程是 y 0 y = p (x + x 0 ) .（2） 过抛物线 y 2= 2 px 外一点P (x 0 , y 0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y 0 y = p (x + x 0 ) . （3） 抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是pB 2= 2 A C . V = 4R 31、球的半径是 R ，则其体积 3 ,其表面积S = 4R 2 ． 2、柱体、锥体的体积V 柱体V 锥体= 1 Sh 3 = 1 Sh 3（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）. （S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）. 3、回归直线方程⎧∑( x - x )( y - y )∑ x y- nx y⎪i i i i⎪b =i =1= i =1⎨ ∑( x - x )2∑ x 2- nx 2ii ⎪i =1 i =1y = a + bx ，其中⎩a = y - bx .§极 限1、几个常用极限1 1 1lim = 0 lim a n = 0 lim x = xlim = （1）n →∞ n ， n →∞ （ | a |< 1）；（2）x →x 00 ，x →x 0 x x 0 .lim （3） x →0 § 导 数sin x x = 1 lim ⎛1+ ；（4） ⎝ 1 ⎫x⎪ ⎭ = e (e=2.718281845…). 1、几种常见函数的导数 (1) C ' = 0 （C 为常数）. (x )' = nx n -1(n ∈ Q )(2)(3) (4) n.(sin x )' = cos x . (cos x )' = -sin x .(ln x )' =1(log a x )' = 1log e(5)x ；x a . (6)(e x )' = e x ; (a x )' = a xln a . 2、导数的运算法则（1）(u ± v )' = u ' ± v ' . （2）(uv )' = u 'v + uv '. (u )' = u 'v - u v '(v ≠ 0)（3） vv 2 . 3、复合函数的求导法则u =(x ) xu '='(x ) y =f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有导数 xa 2 +b 2 -b ± b 2- 4ac x y ' = f ' (u )y = f ((x ))xy ' = y ' ⋅ u 'uf ' ((x )) = §复 数， 则 复 合 函 数在 点 处 有 导 数 ， 且f ' (u )' (x ) xux， 或 写 作1、复数z = a + bi 的模（或绝对值） | z |=| a + bi | = . 2、复数的四则运算法则(1)(a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d )i ; (2)(a + bi ) - (c + di ) = (a - c ) + (b - d )i ; (3)(a + bi )(c + di ) = (ac - bd ) + (bc + ad )i ; (a + bi ) ÷ (c + di ) = ac + bd + bc - ad i (c + di ≠ 0)(4) c 2 + d 2 c 2 + d 2 .3、复数的乘法的运算律交换律: z 1 ⋅ z 2 = z 2 ⋅ z 1 .结合律:(z 1 ⋅ z 2 ) ⋅ z 3 = z 1 ⋅ (z 2 ⋅ z 3 ) . 分配律: z 1 ⋅ (z 2 + z 3) = z 1 ⋅ z 2 + z 1 ⋅ z3 . 4、复平面上的两点间的距离公式d =| z - z |=z = x + y i z = x + y i125、向量的垂直（ 111 ， 222）.非零复数 z 1= a + bi ， z 2 = c + di 对应的向量分别是OZ 1 ， OZ 2 ，则OZ 1 ⊥ OZ 2 z 2 ⇔ z 1 ⋅ z 2⇔ z⇔ | z + z |2 =| z |2 + | z |2 的实部为零1 为纯虚数 12 1 2 ⇔ | z - z |2 =| z |2+ | z |2 ⇔ | z + z |=| z - z | ⇔ ac + bd = 0 ⇔ z =iz1 2 1 2 实数).6、实系数一元二次方程的解1 2 1 212 (λ为非零实系数一元二次方程 ax 2+ bx + c = 0 ，∆ = b 2- 4ac > 0 x 1,2 = 2a①若 ,则 ;x = x = - b②若∆ = b 2- 4ac = 0 ,则1 2 2a ; ③若∆ = b 2- 4ac < 0 ，它在实数集 R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数x = 根 2a b 2 - 4ac < 0).(x - x )2 + ( y - y )22 1 21 -b ± -(b 2- 4ac )i .。