2、方阵谱半径的估计
一般方阵的谱半径：
对角占优矩阵的谱半径：
6.5 矩阵幂级数
1、矩阵级数及其收敛性
矩阵序列： ������ ������×������ 中，形如������0 , ������1 , ⋯ , ������������ , ⋯的有序矩阵列，称 为矩阵序列。 矩阵级数：由矩阵序列������0 , ������1 , ⋯ , ������������ , ⋯构成的如下和式
������
, (������ = 1, ⋯ , ������; ������ = 1, ⋯ , ������) 均收敛，则称矩阵级数 ������������ ≜ ������������������
������
∞ ������=0 ������������ 绝对收敛。其中，
。
矩阵级数绝对收敛的判别：
������������ −1
������������ , (������ = 1, ⋯ , ������) 存在，则称函数
������������ −1
������(������)在������ 的谱������ ������ ≜ *������1 , ������2 , ⋯ , ������������ +上有定义，或������(������)在������ 的谱
1、方阵特征值的估计（特征值在复平面上的分布）
圆盘定理1：
盖尔圆系：定理 6.4.1中，并集 ������1 ∪ ������2 ∪ ⋯ ∪ ������������ ≜ ������ 称为矩 阵������的盖尔圆系。 ������ 区： ������ 的盖尔圆系 ������ 中，记由 ������ 个圆组成的连通域为 ������������ ，又 若������������ 与其它圆无公共点，则称������������ 为������区。 圆盘定理2： 设������������ 是������ 的盖尔圆系之 ������ 区，则������������ 中有且只有������ 的 ������ 个特征值 （������重根算������个）。 特征值估计的改善：
其中，每个元素������������������ (������)都是复变量������ 的函数，则称������(������)为复变 量������的函数矩阵。若每个元素������������������ (������)都在������ = ������0 或������的某个定义 区域������ 上可微，则称此函数矩阵������(������)在������ = ������0 或区域������ 上是可 微的，并规定������(������)对������的导数为 ������ ������ ������ ������ = ������������������ ������ ������������ ������������
定 理 ： 设 ������ ∈ ������ ������×������ ， ������1 (������) 与 ������2 (������) 是 两 个 多 项 式 ， 则
������1 (������)=������2 (������)的充要条件是������1 (������)与������2 (������)在������ 的谱������ ������ 上有相同
������ ������ 上 给 定 ， 并 称 ������ ������������ , ������ ′ (������������ ), ⋯ , ������ ������������ , (������ = 1, ⋯ , ������)
为������(������)在������的谱������ ������ 上的值，或������(������)在������ ������ 上的谱值。
足������(������) < ������，则称收敛矩阵幂级数
������ ������ =
������=0
������������ ������������ ,
(������(������) < ������)
2、矩阵函数的计算
方法一：定义法。直接利用矩阵幂级数的定义式进行计算。 1 0 0 1 例：设������ = ，������ = ，求������ ������ , ������ ������ , ������ ������+������ 0 0 0 0 方法二：Jordan标准形法。 理论基础：
−1 −2 例：设������ = −1 0 −1 −1
6 3 ，求������ ������ , ������ ������������ , sin ������ 4
方法三：谱值相等法。 矩阵函数定义为一个矩阵幂级数的形式。对任一方阵������而 言，假定其最小多项式的次数为 ������ ，则因最小多项式是次数 最低的首 1 化零多项式，故 ������ 的任意 ������ 次方 ������������ , (������ ≥ ������) 均可由 ������������ , ������, ⋯ , ������������−1 线性表示。这样，可将矩阵幂级数表示为一个 有限次矩阵多项式的形式，即 ������ ������ = ������0 ������������ + ������1 ������ + ⋯ + ������������−1 ������������−1 (∗) 要计算任意矩阵函数������(������)，只要确定系数������0 , ������1 , ⋯ , ������������−1 即 � 是矩阵范数、且相容，即
式(6.2.4)从向量范数导出的相容矩阵范数，称为由向量范数 诱导的相容矩阵范数，或称为算子范数。
性质2：
矩阵的 1- 范数、 2- 范数、∞ - 范数，也分别称为列和范数、 谱范数、行和范数。
5、矩阵范数的应用
对于实际问题，数字矩阵 ������ = (������������������ ) 的每个元素 ������������������ 通常会 带有误差������������������ ，即准确矩阵为 ������ + ������ = ������������������ + ������������������ = (������������������ + ������������������ )
������ ∞ ������ ������=0 ������������ ∞ ������=0 ������������ 收敛，当
收敛。 ������������ 收敛，即������������个绝对数值级
矩阵级数的绝对收敛性：若 数
∞ ������=0
∞ ������=0
������������������
(6.5.1)
称为矩阵������的幂级数。 矩阵幂级数的收敛性判别：
6.6 矩阵函数
1、矩阵函数的概念
设复变量幂级数
∞ ������ ������=0 ������������ ������ 的收敛半径为������ ，且当 ∞ ������ ������=0 ������������ ������
第6章 矩阵范数与矩阵函数
6.1 向量范数
1、向量范数的定义
2、 ������ ������ 空间上向量范数的性质之一
3、 ������ ������ 空间上的常用向量范数
分别称为1-范数、2-范数、∞-范数和������-范数。
4、������ ������ 空间上范数的性质之二
5、������ ������ 空间上范数的性质之三
6.2 矩阵范数
1、矩阵范数的定义
2、矩阵范数可看作向量范数，但具特殊性
对于某一矩阵范数系，若相容性不等式关系(6.2.1)成立，则 称该矩阵范数系为相容矩阵范数系。 相容矩阵范数系的性质：
3、矩阵的������1 范数、������2 范数和������∞ 范数
������
������1
≜
的值。
0 0 例：设������ = 2 −1 −1 0
1 2 ，求������ ������ , ������ ������������ −2
6.7 函数矩阵的微积分
1、单变量函数矩阵的概念
设矩阵 ������11 ������ ������21 (������) ������ ������ = ⋮ ������������1 (������) ������12 ������ ������22 (������) ⋮ ������������2 (������) ⋯ ������1������ ������ ⋯ ������2������ (������) ⋮ ⋮ ⋯ ������������������ (������)
对以上问题的回答，需要用到定理6.2.6.
式中 ∙ 为任一相容算子矩阵范数。
6.3 向量和矩阵的极限
1、矩阵Cauchy序列和收敛序列的定义
2、矩阵序列极限的属性
3、矩阵序列极限的运算法则
4、方阵谱半径的定义
5、方阵幂有零极限的条件
6、方阵谱半径与范数的关系
6.4 特征值与谱半径的估计
定义：设矩阵������的最小多项式为 ������ ������ = ������ − ������1
������1
������ − ������2
������2
⋯ ������ − ������������
������������
其中，������1 , ������2 , ⋯ , ������������ 为������的������个互异特征值。对任意函数������(������)， 若 ������ ������������ , ������ ′ (������������ ), ⋯ , ������