种范数，则总存在正数 d1 , d2 使得
d1
A
A d2
A,
A C mn
诱导范数
定 数义 ，： 如设果对X于任是何向矩量阵范A数与，向A量
是矩阵范
X 都有
AX A X
则称矩阵范数 的。
A 与向量范数
X 是相容
例 1 ：矩阵的Frobenius范数与向量的2-范
数是相容的.
证明 : 因为
d1
b
a
d2
,
b
V
定理：有限维线性空间 V 上的任意两个向
量范数都是等价的。
利用向量范数可以去构造新的范数。
例 ：设 g b是 Cm 上的向量范数，且
ACmn , rank( A) n ，则由
A , Cn
a
b
所定义的 g a是 Cn 上的向量范数。
例 ： 设 V 数域 F 上的 n 维线性空间，
a (k) 21
1
r k (r
1),
那么
a (k) 22
k2 k2
k k
1 lim A(k) A 3
0
k
1 1
定理： 矩阵序列{A(k )} 收敛于 A 的充分必
要条件是
lim A(k) A 0
k
其中 A(k) A 为任意一种矩阵范数。
证明：取矩阵范数
mn
A aij
i1 j1
（1）如果 A 1 2 L n ，那么
n
A 2 F
2 i2
i 1
n
（2） A 2 TR( AH A) F
i ( AH A)
i 1
（3）对于任何 m 阶酉矩阵 U 与 n 阶酉矩阵
V 都有等式
A UA AH
F
F
F
AV UAV
F
F
关于矩阵范数的等价性定理。
定理：设 A , A 是矩阵 A 的任意两
mn
1 22
A ( F
aij )
i1 j1
n
X ( 2
xi 2 ) 12 ( X H X )1 2
i 1
根据Hoider不等式可以得到
2
mn
mn
AX 2 2
aij x j ( aij x j )2
i1 j1
i1 j1
m n
2n
2
[( aij )( x j )]
i1 j1
j 1
第五章 向量与矩阵的范数
定义： 设V 是实数域 R（或复数域 C ）上 的 n 维线性空间，对于V 中的任意一个向量 按照某一确定法则对应着一个实数，这个
实数称为 的范数，记为 ，并且要求
范数满足下列运算条件：
（1）非负性：当 0, 0 只 有且仅有当 0, 0
（2） 齐次性： k k , k 为任
bkj
A B
因此 A 为矩阵 A 的范数。
例 3 ：对于任意 A Cmn，定义
m n
21
A ( F
aij ) 2
i1 j1
可以证明 A 也是矩阵 A 的范数。我们称此 范数为矩阵 A 的Frobenious范数。
证明：此定义的非负性，齐次性是显然的。
利用Minkowski不等式容易证明三角不等式。 现在我们验证乘法的相容性。
于是有
n
x(
p
yi p ) 1 p
i 1
另一方面 n
1 yi p n
i 1
n
1
1
1 ( yi p ) p n p
i 1
故
n
lim(
p i1
yi p ) 1 p
1
由此可知
lim
p
p
x
max
1in
ai
定 上义 定：义设的两种a向, 量范 数b ，是如n果维存线在性两空个间与V 无关的正数 d1 , d2 使得
A(k ) A
lim k i1
a (k) ij
aij
j 1
0
那么对每一对 i, j 都有
lim
k
a (k) ij
aij
0
(i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n)
即
lim
k
aij
(
k
)
aij
(i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n)
故有
lim
k
A(k )
A
A 1 0 0 或 A 0 1 0
i 0 0
0 0 1
分别计算这两个矩阵的 A ， A ， A
和A 。
1
2
F
例 2 ：证明：对于任何矩阵 A Cmn 都有
AH AT A
1
1
AH AT A
2
2
2
AH A A 2
2
2
A 2 A A
2
1
如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？
定理：设 A 是矩阵范数，则存在向量范数 X 使得 *
引理（Minkowski不等式）：设
a1,a2,L ,an T , b1,b2,L ,bn T Cn
则
n
(
ai bi p ) 1 p ( n
ai p ) 1 p ( n
bi p ) 1 p
i 1
i 1
i 1
其中实数 p 1 。
几种常用的范数
定义：设向量 a1, a2,L , an T ，对任
AX A X *
证明：对于任意的非零向量 ，定义向量范
数 X X H ，容易验证此定义满足向
量范数的三个性质*，且
AX AX H A X H
*
*
*
A X *
例：已知矩阵范数
mn
A A *
aij
i1 j1
求与之相容的一个向量范数。
解：取 0 1 L 0 T 。设 X x1 x2 L xn T
意的数 p 1 ，称
n
( p
ai p ) 1 p
为向量
的
i 1
p 范数。
常用的 p 范数：
n
（1）1－范数
1
ai
i 1
（2）2－范数
n
( 2
ai
2
)
1 2
( H )1 2
i 1
也称为欧氏范数。
（3）
－范数 lim
p
p
定理：
max 1in
ai
证明：令

max
1in
ai
，则
yi ai x , i 1, 2,L , n
都收敛，则称矩阵序列{A(k )} 收敛。
进一步，如果
那么
lim
k
aij
(
k
)
aij
lim
k
A(k )
A
[aij ]
我们称矩阵 A 为矩阵序列 {A(k )} 的极限。
例 ：如果设 A(k ) aij(k ) C22 ，其中
a (k) 11
k 1, 3k
a (k) 12
rk (0
r
1)
mn p
mn p
AB
aikbkj
aik bkj
i1 j1 k 1
i1 j1 k 1
mn
p
p
[( aik )( bkj )]
i1 j1 k 1
k 1
mp
np
( aik )( bkj )
i1 k 1
j1 k 1
A B
例 2 ：设矩阵 A Cnn ，证明：
A
n max i, j
aij
是矩阵范数。
应的一个实数，且满足
（1）非负性：当 A 0, A 0 只有 且仅有当 A 0, A 0
（2） 齐次性： kA k A , k 为任
意复数。 （3） 三角不等式：对于任意两个同种形
状矩阵 A, B 都有
AB A B
（4）矩阵乘法的相容性：对于任意两个可以
相乘的矩阵 A, B ，都有
AB A B
设 ACml , B Cln ，则
mn l
2
mn l
AB 2 F
aikbkj
( aik bkj )2
i1 j1 k 1
i1 j1 k 1
m
n
l
[(
l
aik 2 )(
2
bkj )]
i1 j1 k 1
k 1
m
(
l
n
aik 2 )(
l
2
bkj )
i1 k 1
j1 k 1
A 2B 2
2
定理：设 A Cmn ，则
m
（1）
A 1
max( j i1
aij
),
j 1, 2,L , n
我们称此范数为矩阵A 的列和范数。
（2）
A
2
max( j
j
(
AH
A))
1 2
,
j ( AH A)
表示矩阵AH A 的第 j 个特征值。我们称此范 数为矩阵 A 的谱范数。
n
（3）
A
max( i
j 1
证。现在考虑矩阵范数的相容性。
设 B 0 ，那么
ABX
A(BX )
AB max
max(
i
X 0
X
X 0 BX
A(BX )
BX
max
max
BX 0 BX
X 0 X
AX
BX
max
max
X 0 X
X 0 X
A B
i
i