收稿日期:2003-07-25; 修订日期:2003-08-01 基金项目:教育部“高校青年教师奖”专项基金;香港研究资助局(32Z B40);香港理工大学(1.34.9709) 作者简介:王彦兵(1972-),男,博士生,从事3D G IS 与3D G MS 研究。
GTP 模型中四面体的引入及其空间模型扩展王彦兵1,2,吴立新1,2,史文中2(1.中国矿业大学北京校区3S 与沉陷工程研究所,北京100083;2.香港理工大学土地测量与地理信息学系)摘要:该文从空间拓扑概念出发,分析了基于广义三棱柱(G TP )模型建立空间实体间拓扑关系时的不足。
针对G TP 进行平面剖切时存在的缺陷,讨论了在G TP 模型中加入新的几何元素———四面体作为辅助元素的必要性,并将空间实体的描述分为几何元素和实体元素两类。
在此基础上,对原有G TP 模型进行了改进,建立了几何元素和实体元素之间的拓扑关系,并有效地解决了空间实体的3D 平面剖切问题。
关键词:G TP 模型;单纯形;四面体;拓扑关系;3D 地学模拟系统中图分类号:P208 文献标识码:A 文章编号:1672-0504(2003)05-0016-040 引言GIS 与其它信息系统相比,其最主要的特性是对实体空间关系的表达[1-4]。
GIS 中表达的空间关系主要包括:度量关系、顺序关系和拓扑关系。
度量关系是纯粹的计算方法,是对空间实体在欧氏空间上方位的一种数值对比关系,是基于距离函数的计算方法。
顺序关系是建立在数学关系(如“<”(严格顺序),“≤”(部分顺序))上的一种操作。
拓扑关系是不考虑实体之间的距离的一种空间邻近关系,它主要的特点是基于拓扑变换(如旋转、放缩和转换等)下的不变性。
拓扑关系作为GIS 中主要表达和分析的空间关系之一[5-7],其表达有利于空间数据组织、空间分析、空间查询、空间推理和空间一致性检验[8]。
3D 空间实体的拓扑描述是在2D 拓扑基础上的扩展,增加了新的空间实体元素———体,其拓扑关系也是2D 拓扑关系在3D 上的扩充。
近年,众多学者提出了多种3D 拓扑数据模型,主要思想是将空间对象抽象为点、线、面和体四类元素进行建模。
但迄今为止,所提出的3D 拓扑数据模型均存在不同程度的缺陷和需要改进之处。
在拓扑学中,单纯形和复形如同组合数学一样都是解决拓扑问题的工具,通常利用单纯形和复形来对几何实体进行拓扑描述和空间关系的表达[9]。
四面体是作为3D 空间建模最基本的几何元素之一,是3D 的单纯形。
陈军、郭薇提出了顾及维数的3D 空间实体间拓扑关系描述框架[10],描述了欧氏空间中任意k —单纯形之间的空间拓扑关系,定义了相邻、包含、相交、部分覆盖、相离、相等6种基本拓扑关系类型。
根据3D 空间实体的可剖分性,将空间实体抽象为0～3—单纯形,并利用空间实体各单纯形间拓扑关系的组合形式描述3D 空间实体的拓扑关系,四面体就是对应的3—单纯形。
广义三棱柱(G eneralized Tri —Prism ,G TP )模型[11,12]是类三棱柱(Analogical Tri —Prism ,ATP )模型[13,14]的发展。
该模型是针对地质钻孔尤其是深钻偏斜特点而提出的一种可以不受三棱柱棱边平行(即钻孔垂直)限制的真3D 地学空间构模方法。
G TP 模型主要用于地质体3D 建模,尤其适用于层状矿体的描述。
G TP 模型直接基于原始钻孔数据构模,使得所构建的模型更符合实际地质状况并确保模型精度。
G TP 模型同时建立了6类元素的6组基本拓扑关系[12],可进行地学空间拓扑分析、查询和动态更新。
由于G TP 的棱边不一定平行,即任意一个侧面的两条棱边不一定共面,这在进行空间分析和剖切时不可避免地会产生空洞。
本文根据四面体属性和G TP 性质以及拓扑学理论,提出在G TP 模型中加入一个新的几何元素———四面体的解决方案。
1 G TP 模型中引入四面体的必要性1.1 G TP 模型G TP 模型的主要特点在于它不受三棱柱棱边平行的限制,并将TP 模型[15]称为其特例;而且,基于TI N 边退化和TI N 面退化,可以由G TP 导出Pyramid模型和TE N 模型[11,12]。
G TP 构模原理是:用G TP 上下底面的三角形集合所组成的TI N 面来表达不同的地层面,然后利用G TP 侧面的空间四边形面来描述第19卷 第5期2003年9月 地理与地理信息科学G eography and G eo -In formation Science V ol.19 N o.5September 2003层面间的空间关系,用G TP 柱体来表达层与层之间的内部实体。
G TP 模型描述了点、TI N 边、棱边、TI N 面、侧面和G TP 六类实体元素,以及相互之间的6组拓扑关系[12]:1)TI N 边—结点—TI N 面,2)G TP —面(TI N 面和侧面)—结点,3)棱边—结点—侧面—TI N 面,4)TI N 面—TI N 边—侧面—上G TP —下G TP ,5)侧面—边(TI N 边和棱边)—G TP ,6)结点—TI N 边—棱边—G TP 。
G TP 模型的主要特点是基于钻孔数据,利用钻孔数据的不同分层来模拟地层,表达地层面的形态。
尤其在模拟层状矿体时,利用G TP 模型可以表达出各层矿体的形态,并可根据矿体的层状信息快速生成3D 空间数据模型。
此外,G TP 模型充分考虑了组成G TP 的各空间元素之间的拓扑关系,包括相邻、相离、连接等。
利用G TP 的这些拓扑关系,便于进行3D 空间的拓扑分析。
尽管如此,该模型在进行空间查询和操作时还存在不足。
(1)齐安文等[14]认为3D 空间剖切时,可以将切割面与ATP 相交的形状分为点、线、三角形、四边形、五边形共12种情况(图1)。
事实上,由于G TP 模型中三棱柱的三条棱边不一定平行,G TP 的侧面不一定是平面。
因此,G TP 进行平面剖切时,在侧面上形成的切割线不一定是直线,或者说进行剖切时切相邻两条侧棱的切割线与侧面不一定共面。
以图1(h )为例,G TP 被切割时,其切割面可以是图2所示的特殊情况,即切割多边形之间出现了空洞。
对此,吴立新[12]提出在G TP 模型中引入3条对角线作为临时性构模要素,将每个侧面分为2个三角形,每个G TP 分为3个四面体,从而来处理侧面非平面的问题,以此来支持3D空间操作。
图1 类三棱柱的平面切割典型方式[12、14]Fig.1 The typicalm anners of plane clipping on ATP/GTP component [12、14] 图2 切割多边形的比较Fig.2 The comp arison betw een the clipping polygons (2)G TP 模型中表达的拓扑关系主要是实体之间的连接关系,进行拓扑描述的实体主要包括构成空间实体的六类基本元素,即点、TI N 边、棱边、侧面、TI N 面和G TP 。
但是,对于任意空间实体之间的空间拓扑关系表达没有进行论述。
且由于G TP 模型侧面是一个不规则空间曲面,空间实体之间在进行空间求交时比较困难,如实时模拟巷道在地层中的动态掘进。
为解决以上问题,根据拓扑学原理和空间建模方法,引入了四面体,以四面体作为构模的基本几何元素之一,对G TP 模型进行辅助构模。
一方面,四面体是3D 的单纯形,是进行3D 几何拓扑描述的最基本元素之一;另一方面,任意一个G TP 可以剖分为3个四面体,且G TP 模型的TI N 面退化模型是四面体,G TP 模型的侧边退化是Pyramid 模型模型,而Pyramid 模型模型又可以分为2个四面体模型[11,12]。
可见,四面体的引入并不会影响G TP 模型的完整性。
1.2 四面体的几何属性由点集拓扑学概念可知,0—单纯形是3D 空间中的一个点,其边界为空;1—单纯形是线段,其边界是线段的两个端点;2—单纯形是三角形,其边界是三条边;3—单纯形是四面体,其边界是四个面。
四面体是3D 的单纯形,任意的3D 单纯形都包括2—单纯形(三角形)、1—单纯形(线段)和0—单纯形(点)。
在3D GIS 中利用四面体构模的方法称为TE N 模型[16、17]。
TE N 包含点、线段、三角形和四面体四类结构对象。
其构模思路是以空间离散点为顶点,用互不相交的直线将3D 空间中无重复的离散点集两两构成三角面片,再由互不穿越的三角面片构成四面体格网。
该模型主要被用于描述现实世界中的不规则体,如土壤、空气和地质体等。
TE N 模型应用了单纯复形的概念[18],可以适用于描述可能存在的任意3D 空间拓扑关系。
四面体几何结构是3D 实体中最简单的结构,它被任一空间平面剖分的情况相对而言比较简单。
经分析,剖切面与四面体相交共存在8种情况:交于某1顶点、交于某1边线、交于某1侧面三角形、交成1个三角形(存在3种情形)、交成1四边形和不相交(图3)。
因此,与G TP 的平面切割相比,TE N 的平面切割要简单的多。
TE N 模型的生成通常采用De 2launey 法则,它是基于空间离散点的一种三角剖分方法。
由于矿山地质体数据的特殊性以及地质构造的复杂性,地质体的三角剖分一般是具有约束条件的页71第第5期 王彦兵等:G TP 模型中四面体的引入及其空间模型扩展一种三角剖分,在约束条件下是不遵循Delauney 法则的。
因此,纯粹采用TE N 模型进行地质体尤其是层状地质体构模并不合适。
而将四面体作为一种新的几何元素引入G TP 模型中,利用G TP 首先进行地层形态描述,再用四面体进行G TP 和实体内部的几何与属性描述,可以较好地解决这一问题。
图3 四面体的切割Fig.3 The clipping of plane on tetrahedron2 G TP 中引入四面体后的扩展模型在G TP 模型中引入四面体元素,一则可以充分地表达层状地质体,又不改变原有G TP 模型的结构;二则四面体是3D 单纯形,便于进行平面切割和体积计算等空间操作。
通常3D 空间建模的过程是将建模的实际对象抽象为点、线、面、体四类元素,通过这四类元素来描述相应的空间对象[19]。
为此,将空间建模的元素分为实体元素和几何元素两类,实体元素是从空间实体中抽象出来的具有某种属性特征的n 维的实体对象(n =0,1,2,3),如G TP 模型中的结点、TI N 边、棱边、TI N 面、侧面和G TP 。
几何元素是构成实体元素的基本元素,它主要用以描述实体元素的形状、大小和位置等几何属性,如G TP 模型中的点、线段、三角形和四面体。