这见是图利可用知数，学与模四型个分顶析点和相解连决的问边题都的是这一奇是个关数成于条图功，论范因例 而不可能存在通过每条边一次且仅一次的的第画一篇法论，文即一
笔画不存在 . 故七桥问题不可能有解 .
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第一章 组合优化模型
一、数学模型的特点 1、高度的抽象性
数学方法不仅要抛开事物的次要属性，突出事物 的本质属性，而且要舍弃事物的物质和能量方面的具 体内容，只考虑其数量关系和空间形式，同时还要把 这些数量关系和空间形式作进一步的抽象，加以形式 化和符号化，以便能够进行逻辑推理和数值运算 .
2
§1 关于模型
二、模型的本质
从系统概念上看，模型是系统中各种关系的表达 形式 . 因此，建立模型要从状态和过程两个方面去寻 找、把握和描述各系统要素之间的相互关系 .
过程和状态两者紧密联系、不可分割，状态决
定和状影态：响事过物程在，某过个程又决定和影过响程新：的事状物态状态. 的
时刻所处的状况或
开发相、似构模建型一是个根新据系不统同的系想统象间力的和相创似造规力律，（逐包步括引几申
何出相与似之、有逻关辑的相问似题和和过需程要相进似一等步）探而索建的立问的题用，于使研所究要
的开模发型的系. 统变得越来越清晰、越来越具体 .
3、图形模型
地球称仪为、不船严体格放样图
模型（、没飞有机严风格洞的实规验范模）
Solution :
9
第一章 组合优化模型
C
显然，解D
桥的长短曲直都无关，重要
的是什么？ 对问题进行数学抽象：
B
把两岸和两岛都看做顶点，将连接这些顶点的桥
当作边，于是得到一无向图 .
则七桥问题就成为无向图中是否存在通每块过陆每地一间边有 一次且仅一次的路（即一笔画）问题 . 几座桥
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§2 数学模型
C
Euler 在他问的题原论型文中证数明学：抽象
数学模型
一个图七中桥问存题在一笔画的 A 一笔画问题
D
充要条件是同有无时解满？足：
逻辑推理
1、图是连无通解的；
翻译回去 B
无解
2、(与一次图过中七座每桥一不顶可能点) （可能有两点例(外一笔）画相不可连能的) 边
（线度）必须是偶数条 .
变化在时间上的持
状态表和现形过态程是相对的 .
续和空间上的延伸
3
第一章 组合优化模型
从认识论上看，模型是作为认识与实践活动的中介 . 模型既是认识的表达，又是实践活动的先导 .
模型参与认识世界和改造世界的不断的循环往复 过程，既是认识不断深化的体现，又是实践活动不断 拓展的体现 .
概念化 认识（信息） 用信息载体表达
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第一章 组合优化模型
三、模型的分类 1、原样模型 原样模型是在工程开发末期建立的一种具象实
体，是具有实物形态的模型 . 它与目的工程在结构和过程方面基本相同 .
原样模型经过试验改进和完善后便是所要开发 的目的工程 .
新产品的样机、新著作的原稿 …
6
§1 关于模型
2、系相统似分模析型和设计人员常常借助于这些图形模型来
第一章 模 型
§1 关于模型 §2 数学模型 §3 组合优化模型
1
第一章 组合优化模型
§1 关于模型
一、模型的概念
由模于型研（究m目od的el的）不是同所，研对究于的同系一统个、对过象程系、统事，物或 概可念以的建一立种完表全达不形同式的模. 型，分别反映该系统的不同 侧面；模出型于不相是同研的究对研象究本目身的，，而对是于对同研一究个对对象象的系一种 抽统，象也，可它能反建映立现不实同中的对模象型系，统反的映主不要同特的征研，究但角它又高 于度现、实考，察因因素而和具价有值同取类向问题. 的共性 .
这种高度的抽象性，实质是对事物认识上的高度 概括和深化，对同类问题包含更多的经验和理解 .
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§2 数学模型
2、高度的精确性 数学方法的高度精确性表现在三个方面： 一是表达各种因素、变量和它们之间的关系相当
明确、清楚；二是逻辑推演和运算规则十分严密；三 是结论非常确定 .
数学方法可以处理多变量、关系复杂的问题，可 在有意义的范围内获得令人满意的计算精度 .
（有严格确控定的结构形
关是系对的现图实形对；象本质属性的抽象而如制式：又关和建简系规筑图范工洁）程e的tc图. 刻、 画， ⑥它或图能论解图释—某—些包客括观图现论象所，定或义能的预无铁测路向未站图场来配的G置(发V图，e展tcE.规) 、 律，有或向能图为G控(V制，某A)一、现加象权的有发(无展)向提图供G某(V种，意A义(E下)，的w最). 优4、策数略学或模较型好策略 .
特别适合于揭示事物的量的规定性，成为定量研 究的有力工具 .
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第一章 组合优化模型
3、应用的普适性 数学方法的高度抽象和精确，使之比任何一种科
学方法的应用范围都更为广泛 . 只存在尚未运用数学方法的领域而不存在不能运
数学模型是指运用数学符号和公式来表达、研究
对象系统的结构或过程的模型 .
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Example 1
§2 数学模型
七桥问题
该问题由Euler在 1736年解决
18世纪的德国有个哥尼斯堡城，在流贯全城的普 雷尔河两岸和河中两个岛之间架设了七座桥，把河的 两岸和两岛连接起来，能否有这样一种走法，它通过 每座桥一次且仅一次 .
现实世界
模型
产品和服务
实践活动 决策（行动方案）
模型化过程示意图
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§1 关于模型
从信息论上看，模型和认识之间存在密切的反馈 关系 . 从已知信息可以通过模型加工产生出新的信 息，相关信息的积累可以从量变产生质变，形成新的 概念，促使认识深化 .
因此，模型的建立和完善不仅要注重对系统物质 形态和能量形态的认识、把握和描述，而且也依赖于 对系统相关信息不断的采集、积累和加工，这就是用 模型研究问题的现实活动 .
图形模型可以表达非常丰富拟的模型内等容等，主要有：
① 图画 —— 一种可以示形的图形； ② 草图 —— 一种可以示意的图形； ③ 框图 —— 一种可以表示系统的部分之间或部分
与整体之间联系的图形；
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第一章 组合优化模型
④数学逻模辑型图是—用—数一学种的可语以言反、映方因法素去或近对似象地间刻关逻系画辑实关际系, 是由的数图字形、；字母或其他数学符号组成的，描述现实对 ⑤象数工量程规图律—的—数一学种公可式以、反图映形物或体算确如法称：定.程为的序严结流格程构图图和、 顺序