投资组合优化模型摘要长期以来，金融资产固有的风险和由此产生的收益一直是金融投资界十分关注的课题。

随着经济的快速发展，市场上的新兴资产也是不断涌现，越来越多的企业、机构和个人等都用一部分资金用来投资，而投资方式的多样性决定了人们在投资过程中投资组合的多样性。

而每一项投资在有其收益效果的同时也伴随着风险性，所以不同的投资组合方式将带来不同的效果。

对于不同类型的投资者必然有不同的要求，从而适合不同的投资方式，所以意在建立在不同投资者的不同要求下应采用哪种投资方式的模型，使投资者能做出正确的选择。

本文研究的主要是在没有风险的条件下，找出投资各类资产与收益之间的函数关系，合理规划有限的资金进行投资，以获得最高的回报。

对于问题一，根据收益表中所给的数据，我们首先建立二元线性回归模型来模拟收益U与x,y之间的关系，对于模型中的各项自变量前的系数估计量，利用spss软件来进行逐步回归分析。

发现DW值为0.395，所以原模型的随机误差项违背了互相独立的基本假设的情况，即存在自相关性。

为了处理数据间的自相关问题，运用了迭代法，先通过Excel进行数据的处理和修正，达到预定精度时停止迭代，再一次用spss软件来进行检验，发现DW值变为2.572，此时DW值落入无自相关性区域。

在进一步对模型进行了改进后，拟合度为进行了残差分析和检验预测，这样预测出的结果更加准确、有效，希望能为投资者实践提供某种程度的科学依据。

对于问题二，根据问题一建立的模型和问题二中所给出的条件，确定目标函数，进行线性规划，用MATLAB软件来求得在资金固定的情况下，选择哪种投资方式能使达到利益最大化。

最后，对模型的优缺点进行评价，指出了总收益与购买A 类资产x份数和B 类资产y份数之间的关系模型的优点与不足之处，并对模型做出了适度的推广和优化。

关键字：经济效益回归模型自相关迭代法线性规划有效投资方法一、问题重述某金融机构选定了A，B两种投资品种,购买A类资产x份和B类资产y份的(1)确定U与x,y的关系；(2)若A的价格是每份120元，B的价格是每份80元，现有资金960万元，选定有效的投资方案以使收益最大。

二、问题分析对于问题一，根据实际中投资学的相关原理和有关常识，我们知道在同等无风险的条件下，购买A类资产和购买B资产各自都会带来收益，因此，一般先确定U与x、y之间的关系，有利于我们在决定投资时，如何分配对A，B两类资产的投入资金的比重，这也是我们建立模型首先要解决的难点。

观察所给数据之间的大致关系来看，我们首先考虑建立回归模型，在进行数据分析时，不可能通过几个简单的假设就监理处了一个完美的数学模型，这就需要对现有的数据进行较为有效的筛选，在此次建模过程中我们一次进行了进行显著性分析，进行逐个剔除，消除误差项之间的自相关性，进一步优化后，得到最好的模型，再对结果分别进行预测和分析。

对于问题二，这是一个如何配置资源的问题，在已知目标函数的前提下，用有限的资金来得到最大的利益。

可以运用线性规划的相关知识来解决，列出所有已知条件，即约束条件，并利用MATlAB软件来进行求解，得到最优解，最后进行检验。

三、模型假设1．投资者总是追求较高的收益，即投资者都是符合经济学中的“理性人”的假设。

2. 在短时期内所给出的平均收益率不变，即保证所得数据在一定时期内的有效性。

3. 假设题设中给的参数是准确值没有偏差。

4. 存在无风险资产，即本文对A、B两类资产的投资都为无风险投资。

5. 每种投资是否收益是相互独立的。

6. 对收益率和风险的预测值是可信的四、符号说明U——收益x——,购买A类资产的份数y——,购买B类资产的份数β0、β1、β2——分别为回归模型的常数项，自变量x、y前面的系数εi——第i个样本回归模型的随机误差项U t——第t个收益的回归估计x t——第t个购买A类资产的样本份数y t——第t个购买B类资产的样本份数五、理论背景1.多元线性回归一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。

当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。

设y为因变量X1,X2…Xk为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为：Y i=β0+β1X1i+β2X2i+…+βk X ki+μi i=1,2,…,n其中 k为解释变量的数目，βj（j=1,2,…,k)称为回归系数（regression coefficient)。

上式也被称为总体回归函数的随机表达式。

它的非随机表达式为E(Y∣X1i,X2i,…X ki,)=β0+β1X1i+β2X2i+…+βk X kiβj也被称为偏回归系数（partial regression coefficient)建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是：(1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关；(2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的；(3)自变量之间应具有一定的互斥性，即自变量之间的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度；(4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。

2、自相关的概念如果模型的随机误差项违背了互相独立的基本假设的情况，称为自相关性。

对于模型Y i =β0+β1X1i+β2X2i+……+βk X ki+μi i=1,2,……,n 随机误差项互不相关的基本假设表现为：Cov(μi,μj)=0 i≠j,i,j=1,2,……,n如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是不相关的，而是存在某种相关性，则认为出现了自相关性。

在其他假设仍旧成立的条件下，序列相关即意味着E（μi,μj）!=03、自相关性的后果（1）参数估计量非有效（2）变量的显著性检验失去意义（3）模型的预测失效4、自相关性的检验杜宾-瓦森（Durbin-Watson ）检验法该方法的假定条件是：（1）解释变量 X 非随机；（2）随机误差项μi 为一阶自回归形式：μi =ρμi-1+εi（3）回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变量，即不应出现下列形式： Y i =β0+β1X 1i +⋯βk X ki +γY i-1+μi（4）回归含有截距项；（5）没有缺失数据。

D.W.统计量若 0<D.W.<d l 则存在正自相关 d l <D.W.<d u 不能确定d u <D.W.<4 - d u 无自相关4 - d u <D.W.<4 - d l 不能确定4 - d l <D.W.<4 存在负自相关或( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ = n n T E NN E μ μ μ μ1 1 ) ( ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ = 2 1 1 2 1 n n n E μ μ μ μ μ μ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ = ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 1 2 1 n n n E E E E μ μ μ μ μ μ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ = 2 1 1 2 1 ) ( ) ( n n n E E σ μ μ μ μ σ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ = 2 1 1 2 ) ( ) ( σ μ μ μ μ σn n E E Ω 2 σ = I 2 σ ≠5、具有自相关性模型的估计（1）广义最小二乘法（2）一阶差分法（3）广义差分法（4）随机误差项相关系数ρ的估计科克伦-奥科特迭代法首先，采用OLS法估计原模型Yi =β+β1Xi+μi得到的随机误差项的“近似估计值”，并以之作为观测值采用OLS法估计下式μi =ρ1μi-1+ρ2μi-2+⋯ρLμi-L+εi得到ρ1，ρ2，⋯，ρk，作为随机误差项的相关系数ρ1，ρ2，⋯，ρk的第一次估计值。

其次，将上述ρ1，ρ2，⋯，ρk，带入以差分模型Y i-ρ1Y i-1-……-ρi Y i-1=β0(1-ρ1-……-ρi)+βi(X i-ρ1X i-1-……-ρi X i-1)+εi i=1,2,……，n在此，将β0，β1代回原模型，计算出原模型随机误差项的新的“近似估计值”，并以之作为模型Μi=ρ1μi-1+ρ2μi-2+……+ρkμi-k+ε的样本观测值，采用OLS法估计该方程，得到ρ1，ρ2，⋯，ρk作为相关系数ρ1，ρ2，⋯，ρk的第二次估计值。

关于迭代的次数，可根据具体的问题来定。

一般是事先给出一个精度，当相邻两次ρ1，ρ2，⋯，ρk的估计值之小于这一精度时，迭代终止。

杜宾（Durbin）两步法该方法仍是先估计ρ1，ρ2，⋯，ρk，再对差分模型进行估计。

第一步，变换差分模型为下列形式：Y i=ρ1Y i-1+……+ρl Y i-l+β0(1-ρ1-……-ρk)+β1(X i-ρ1X i-1-……-ρk X i-k)+εi i=1,2,……，n采用OLS 法估计该方程，得到各Y j (j=i-1,i-2,……，i-k)前的系数ρ1，ρ2，⋯，ρk 的估计值ρ1，ρ2，……，ρk 。

第二步，将估计的ρ1，ρ2，⋯，ρk ， 代入差分模型采用OLS 法估计，得β0（1-ρ1-……-ρk ）,β1的估计量，记为*β0，*β1。

六、模型建立问题一：假定收益U 与x 、y 之间存在线性关系，则可建立二元线性回归模型U=β0+β1*x+β2*y+ε式中，U 表示总的收益；x 表示购买A 类资产的份数；y 表示购买Ｂ类资产的份数；β０、β１、β２分别表示回归方程的常数项、x 和y 前面的系数；ε表示随机误差项。

问题二:由上一问得到的模型U=9.042+0.047x+0.19y 后，求目标函数的最大值建立约束条件：120x+80y ≤9600000X ≥0Y ≥0式中，x 、y 表示的是整数。

七、模型求解及优化1.问题一（1）根据数据资料定义变量U （收益）、x （A 类资产的份数）、y （B 类资产的份数），再将全部数据输入spss 界面，建立数据文件。

于是：) ˆ ˆ (ˆ 1 0 l ρρβ - - - = ， * 1 1 ˆ ˆ β β =（2）选择U为因变量，以x、y为自变量，进行逐步回归；在Statistics 对话框中选择Estimate、Model fit、Discriptives、Durbin-Watson；选择Plots 对话框的残差直方图、残差正态概率图。

并输出以ZRESID为X轴，以DPENDNT 为Y轴的散点图；在Save对话框里选择保存未标准预测值、未标准预测值残差、标准预测值、标准预测值残差；Options对话框选项选择默认选项，各选项确认以后，交系统运行。