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将昆虫爬行的路线抽象成一笔画问题是解决本题的 关键.
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你能否将下图中的图形一笔画成,为什么?
答案:可以一笔画成.因为图中奇数顶点的个数是 2. 欧拉提交给圣彼得堡科学院的论文 关图论的第一篇论文. 答案:《哥尼斯堡的七座桥》 成为了有
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三、关于欧拉
【例 4】 18 世纪,继牛顿之后最伟大的数学家之一,欧洲数学界 的灵魂人物是( ). A.高斯 B.欧拉 C.柯西 D.牛顿 答案:B 【例 5】 以下符号不是欧拉首先引进或创立的是( ). A.用 e 表示自然对数的底 B.用 f(x)表示函数 C.用 i 表示虚数 D.用 dx 表示微分 答案:D
§2 哥尼斯堡七桥问题
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欧拉是数学史上著名的数学家,他在数论、几何、天文数学、微 积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就,他小时候一 面读书一面帮助爸爸放羊,他读的书中,有不少数学书. 爸爸的羊渐渐增多了,达到了 100 只,原来的羊圈有点小了,爸爸决定 建造一个新的羊圈.他用尺量出一块长方形的土地,长 40 米,宽 15 米, 他算了一下,面积正好是 600 平方米,平均每一头羊占地 6 平方米,正 打算动工的时候,他发现他的材料只够围 100 米,篱笆不够用,若要围 成长 40 米,宽 15 米的羊圈,其周长将是 110 米,父亲感到很为难,若要 按原计划建造,就要再添 10 米长的材料;要是缩小面积,每头羊的面 积会小于 6 平方米.小欧拉却向父亲说,不用缩小羊圈,也不用担心每 头羊的领地会小于原来的计划,他有办法,父亲不相信小欧拉会有办 法,听了没有理他,小欧拉急了,大声说,只要稍稍移动一下羊圈的桩 子就行了.父亲听了直摇头,心想:“世界上哪有这样便宜的事情?”但 是,小欧拉却坚持说,
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他一定能两全其美,父亲终于同意让儿子试试看.小欧拉见父亲 同意了,站起来跑到准备动工的羊圈旁,他以一个木桩为中心,将原来 的 40 米边长截短,缩短到 25 米,父亲着急了,说:“那怎么成?那怎么成 呢?这个羊圈太小了,太小了.”小欧拉也不回答,跑到另一条边上,将 原来 15 米的边长延长,又增加了 10 米,变成了 25 米,经这样一改,原 来计划中的羊圈变成了一个边长 25 米的正方形,然后,小欧拉很自信 地对爸爸说:“现在,篱笆也够了,面积也够了.” 父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆,100 米长的篱笆真的 够了,不多不少,全部用光,面积足够了,而且还稍稍大了一些.欧拉的 聪明才智在小时候就得以体现,下面就了解一下欧拉是如何解决哥 尼斯堡七桥的问题.
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解决哥尼斯堡七桥问题的数学家是( A.高斯 B.牛顿 C.欧拉 D.伯努利 答案:C
).
欧拉把哥尼斯堡七桥问题抽象成下面哪个图形的一笔画问题 加以解决的( ).
答案:B
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二、图论
【例 3】 想一想,一只昆虫是否可能从正方体的一个顶点出发, 沿着棱爬行,它爬行过每条棱一次且仅一次,并且最终回到原地?为 什么? ⦾思路分析:画出正方体的直观图,利用一笔画的结论解决. 解:如图,正方体的奇数顶点有 8 个,故不能按 要求最终回到原地.因为昆虫沿正方体的一个顶 点出发,沿着棱爬行,每条棱爬行一次且仅一次,并 且最终回到原地,可把这个问题抽象成一笔能否 画出正方体的问题(图中的虚线在画时也是一笔 画成),而正方体的直观图中有 8 个奇数顶点,由欧拉的结论:可以一 笔画成的图,或者没有奇数顶点,或者只有两个奇数顶点,而且只限于 这两种情况.故有 8 个奇数顶点的正方体不能一笔画成.所以昆虫不 能按要求回到原地.
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1.哥尼斯堡七桥问题被数学家欧拉抽象成了一个一笔画的问题 并得以解决. 2.如果在一个顶点处有偶数条边通过,则称这个顶点为偶顶点, 如果在一个顶点处有奇数条边通过,则称这个顶点是奇顶点. 3.欧拉得出了一个关于一笔画的结论,即可以一笔画成的图,或 者没有奇数顶点,或者只有两个奇数顶点,而且只限于这两种情况. 4.欧拉把哥尼斯堡七桥问题抽象成图进行讨论,影响深远,推动 了图论的诞生,同时又推动了另一门新的几何学分支——拓扑学的 诞生. 5.1707 年欧拉出生在瑞士;1733 年,欧拉担任了圣彼得堡科学院 数学教授;1766 年欧拉重回圣彼得堡,不料没过多久,他完全失明,且 他的大量研究成果也在一场火灾中全部化为灰烬了.但他仍以惊人 的毅力不懈地与黑暗作斗争,凭着记忆和心算进行研究,以口述的形 式撰写论文长达 17 年之久.
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一、哥尼斯堡七桥问题的来源
【例 1】 哥尼斯堡七桥所在的国家即是当今的( A.威尼斯 B.瑞士 C.德国 D.俄罗斯一
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【例 2】 18 世纪哥尼斯堡城的居民热衷于一个游戏,这个游戏 即是哥尼斯堡七桥问题,如图,问题的内容 是 .
答案:一个散步者怎样才能一次走遍 7 座桥,每座桥只走过一次?
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1.哥尼斯堡七桥问题被欧拉抽象成数学的几何问题,即能否在 笔不离开纸的情况下,一笔而又不重复地画完这个图形?通过研究, 欧拉得出了关于一笔画的结论,即可以一笔画成的图,或者没有奇数 顶点,或者只有两个奇数顶点,而且只限于这两种情况.根据这个结论, 哥尼斯堡七桥问题迎刃而解. 2.欧拉把哥尼斯堡七桥问题抽象成图进行讨论,影响深远.首先, 欧拉的工作推动了图论的诞生;其次,欧拉的工作推动了另一门新的 几何学分支——拓扑学的诞生.
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发现著名公式 eiθ=cos θ+isin θ 的数学家是( ). A.欧拉 B.莱布尼茨 C.高斯 D.牛顿 答案:A 1766 年,欧拉重返圣彼得堡,不久双目失明,1771 年,一场大火使 他的书房和大量研究成果化为灰烬,如此沉重的打击并没有使坚强 的欧拉倒下,他仍然以惊人的毅力与黑暗作斗争.这时的欧拉是如何 进行研究的?又如何撰写论文? 答案:凭着记忆和心算进行研究;以口述的形式撰写论文.