（与平面问题三角形单元族形函数的直接构成类似，不再详细讨论）
第六章 空间问题
6.3 六面体单元 6.3.1 八节点六面体单元
以单元形心c为原点，设单元局部坐标系为 （是 xyz 的平移坐标系，取值范围[-1，1]） 则有
x xc a y yc b z zc c
y
可以推出
1 1 x x i y yi z zi 1 xj yj zj 1 xm ym zm 1 Li L xp j y p Lm zp Lp
也可表示为
分别移植到
z
i
V 将单元自重的四分之一 4
m
四个节点上
j
y
x
第六章 空间问题
•
四节点四面体单元的整体分析，步骤与三节点三角形单元相同 （不再详述）
第六章 空间问题
6.2.3 四面体单元的形函数
* 不同精度的四面体单元，是采用不同阶次位移函数确定的， 而单元位移函数， 则通过形函数由节点位移来确定 即 e N * 四面体单元族的形函数 N ，可以采用体积坐标，利用插值函数直接构造
zj zm zp zj zm zp 1 yj zj zm zp
式中
xj ai xm xp
yj ym yp
bi 1 ym 1 yp 1 xj d i 1 xm 1 xp
(i, j, m, p)
1 xj ci 1 xm 1 xp yj ym yp
第六章 空间问题
②体积坐标转换为直角坐标


bi ci di
Li Li Li
( i , j ,m, p )
( i , j ,m, p )
第六章 空间问题
② 幂函数在四面体上的积分 讨论的是这样一类积分
I
L L L
a i b j V
c m
Ld p dxdydz
其中 幂指数 a, b, c, d 是任意正整数 利用特殊函数 函数和 函数，可导得
I a !b!c !d ! 6V (a b c d 3)!
其中 V 是四面体体积
**
为使用方便，常用如下的积分
I 1 V V
a b c d L i L j Lm Lpdxdydz e
I abcd
6 a !b!c!d ! A (a b c d 3)! B
（5）单元荷载移植
集中力 体力 面力
p N R
e T
p
e
N
V
T
p dxdydz
p
e
N
A
T
p dA
** 计算时，需用“体积坐标幂函数在四面体的积分”进行运算
例如 体力只计重力时
p
p
即
e

V T 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 4
**
将上式与四面体单元的体积坐标式比较，可发现两者完全相同， 体积坐标就是形函数 即
Ni Li (i, j, m, p)
第六章 空间问题
(2) 单元应变
由几何方程
u (i , j ,m, p ) Ni x ui x x
按“体积坐标对直角坐标的偏导数”，可导出 x 同样 可导出 y , z , xy ... 整理得
x
1
( i , j ,m , p )

Li xi
Li
( x, y , z )
( i , j ,m , p )

第六章 空间问题
(4) 体积坐标的函数运算
讨论两种运算：
对直角坐标的偏导数 幂函数在四面体上的积分
①体积坐标对直角坐标的偏导数
如有体积坐标的函数 f (Li , Lj , Lm , Lp )，如何求 x , y , z ？ 用复合函数求导法则 有
i
(i, j, m, p)
*** B 是常量阵，故四节点单元是“常应变单元”
第六章 空间问题
（3） 单元应力
由物理方程
D B S
e
e
应力阵
S Si
***
S j Sm S p
s 是常量阵，故四节点单元也是“常应力单元”
Li
Vi 1 (ai bi x ci y di z ) V 6V
第五章 空间问题
同样可推出
Lp ，综合可得 Lj 、Lm、
Li L j 1 L m 6V Lp
ai bi ci di 1 a b c d j j j x j am bm cm d m y z a p bp c p d p

C 2c

2a
z

2b
x
由帕斯卡三角形知 八节点单元位移函数应为
u 1 2 3 4 5 6 7 8 v 9 10 11 12 13 14 15 16 w 17 18 19 20 21 22 23 24
第六章 空间问题
(4) 单元刚度矩阵
注意到
B, D 均为常量阵
有
k
e
B
V T
T
D B dxdydz
B
e
s V
k 的子块为：
krs Br D Bs V
e T
其具体表达式（略）
第五章 平面问题高次单元
（1）空间问题单元的一般形式
四面体单元
4节点 10节点 20节点
……
六面体单元
8节点 27节点
……
64节点
(为提高节点效率， 六面体单元一般不设 内节点）
20节点 32节点
第六章 空间问题
（2）空间问题的单元位移函数 • 仍采用多项式作位移函数 • 位移函数多项式的取项与单元节点数目有关 • 可用帕斯卡三角形形象地表示多项式的取项与节点安排的关系
上式中对应指数 a, b, c, d 的 A, B 值一般都计算成表，方便应用
第六章 空间问题
6.2.2 四节点常应变单元
(1) 单元位移函数 应为线形多项式 即
u 1 2 3 v 5 6 7 w 11 10 9
其中
N i Ni I
1 0 0 I 0 1 0 0 0 1
(i, j , m, p )
第六章 空间问题
各形函数为
Ni ai N 1 aj j N am m 6V N ap p bi bj bm bp ci cj cm cp di 1 x dj dm y dp z
x y z xy yz zx
其中
T
B
e
B Bi
B j Bm B p
0 ci 0 bi di 0 0 0 di 0 ci bi
bi i 节点对面 j 节点对面
Li 0
Lj 0
m 节点对面
p
节点对面
Lm 0
Lp 0
单元体心的体积坐标:
Li L j Lm Lp 1 4
第五章 空间问题
② 单元任一点的体积坐标存在如下依从关系
Li Lj Lm Lp 1
**这很容易由Vi Vj Vm Vp V 推出，也反映了空间一点只有三个独立坐标值
第六章 空间问题
空间问题帕斯卡三角形
对四面体单元
1
节点数(多项式项数)
z
y
一次 二次
x3 x
2
x xz
xy
4
z2
yz
10
z3
三次
x2 z
y
xyz
2
xz 2
20
x2 y
xy 2
x4
x z
3
yz 2
y2 z y3
x z
2 2
四次
xz
3
z4
35
x3 y x2 y 2
x 2 yz
xyz 2 xy 2 z y2 z2 y3z
e
p
1 4 x 8 y 12 z
m
z
i
j
y
用单元节点位移 表示，可写为
x
N
式中
e

e
ui vi
wi u j v j
w j um vm wm u p v p
wp
T
N N N N N i j m p
（3）体积坐标与直角坐标的转换
① 直角坐标转换为体积坐标
设一点直角坐标为( x, y, z) ，体积坐标为 (Li , Lj , Lm , Lp )
1 Vi 11 61 1 x xj xm xp y yj ym yp z zj zm zp 1 (ai bi x ci y d i z ) 6
(2) 特点
①坐标无因次,取值范围0-1,四组坐标面 分别平行于四个边界面 故 四个节点的体积坐标为:
i : (1, 0, 0, 0) j : (0,1, 0, 0) m : (0, 0,1, 0) p : (0, 0, 0,1)
x
Li 0
0.25
j
p
0.5 0.75
m
Li 1
i
z
y
四边界面上有: