线性规划的实际应用摘 要：线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 关键词：研究性学习；线性规划，教学改革随着当前基础教育的改革的深入，研究性学习成为当前基础教育的一个热点，引起了教育界和社会的广泛关注，也成为当前培养学生能力的一个崭新的课题。
我们本着教学过程始于课内，终于课外的原则对线性规划的实际应用进行研究。
主要是把实际问题抽象为数学模型，使其在约束条件下，找到最佳方案。
也就是说求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题。
一． 线性规划问题在实际社会活动中遇到这样的问题：一类是当一项任务确定后，如何统筹安排，尽量做到最少的资源消耗去完成；另一类是在已有的一定数量的资源条件下，如何安排使用它们，才能使得完成的任务最多。
例如1-1：某工厂需要使用浓度为的硫酸10，而市场上只有浓度为，0080kg 00600070和的硫酸出售，每千克价格分别为8元，10元，16元，问应购买各种浓度的硫酸各多0090少？才能满足生产需求，且所花费用最小？设取浓度为，，的硫酸分别为千克，总费用为，则006000700090321,,x x x Zs.t⎩⎨⎧=++=++89.07.06.010321321x x x x x x)3,2,1,0(16108321=≥++=j x x x x Z j 例如1-2：某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲产品需要种原料不超过3千克，但A 每千克甲产品需要种原料为2千克；生产乙产品需要种原料不超过4.5千克，但每千克CB 乙产品需要种原料为3千克。
每千克甲产品的利润为3元，每千克乙产品的利润为4元，C 工厂生产甲，乙两种产品的计划中要求所耗的种原料不超过15千克，甲，乙两种产品各应C 生产多少，能使的总利润最大？设生产甲，乙两种产品分别为千克，利润总额为元，则21,x x Z s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤0,15325.43212121x x x x x x2143x x Z +=二． 线性规划问题的模型1．概念对于求取一组变量使之既满足线性约束条件，又使具有线),,3,2,1(n j x j ⋅⋅⋅=性目标函数取得最值的一类最优问题称为线性规划问题。
2．模型或max()1(min)2211nn x c x c x c Z +⋅⋅⋅++=s.t ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⋅⋅⋅≥=≤+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥=≤+⋅⋅⋅++≥=≤+⋅⋅⋅++0,,),()2(),(),(2122112222212111212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 称之为线性规划问题的数学模型。
其中（1）称为线性目标函数，（2）称为线性约束条件。
式中，称为目标函数，称为决策变量，称为价值系数Z ),,3,2,1(n j x j ⋅⋅⋅=),,2,1(n j c j ⋅⋅⋅=或目标函数系数，称为资源系数或约束右端常数，),,2,1(m i b i ⋅⋅⋅=),,2,1,,,2,1(n j m i a ij ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=称为技术系数或约束系数，，，均为常数。
上述式子还可缩写为：ij a j c i b或max(∑==nj j j x c Z 1min)⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=≥⋅⋅⋅=≥=≤∑=n j x m i b x a t s j nj ij ij ,2,10,2,1),(.1三． 线性规划问题的求解1．图解法在平面直角坐标系中，直线可以用二元一次方程来表示，点l 0=++C By Ax ),(o o y x p 在直线上的充要条件是；若不在直线上，则或l 0=++C By Ax o o p 000>++C By Ax ，二者必居其一。
000<++C By Ax 直线将平面分为两个半平面和，位于同:l 0=++C By Ax 0>++C By Ax 0<++C By Ax 一个半平面内的点，其坐标必适合同一个不等式，要确定一个二元一次不等式所表示的半平面，可用“特殊点”法，如原点或坐标轴上的点来检验。
另外有如下结论：（1）若，则表示直线 右侧的半平面，0>A 0>++C By Ax :l 0=++C By Ax 示直线 左侧的半平面。
0<++C By Ax :l 0=++C By Ax （2）若，则表示直线 上方的半平面，0>B 0>++C By Ax :l 0=++C By Ax 示直线 下方的半平面。
0<++C By Ax :l 0=++C By Ax例1-1中，设取浓度为，00600070千克，总费用为，则Z s.t ⎪⎩⎪⎨⎧=+-++≥+-≥8)](10[9.07.06.00)(100,y x y x y x y x6y -8x -160y)](x -16[1010y 8x Z =+++=即令.6y 8x Z -160+=6y 8x Z /+=要求的最小值，也就是求的最大值。
Z /Z ①式表示的公共区域为线段，如图（1AB 0经过点时，在轴上的截距最大，又的坐标为，所以的最大值为30。
即B y B )5,0(/Z 5,0==y x 时，为最大，故。
/Z 13030160=-=Z 注：此题中原有三个未知量，在约束条件下，推出了第三个量的表达式，从而可用图解发法求解。
例1-2中，设生产甲，乙两种产品分别为x,y 利润总额为元，则Z s.t ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤0,15325.43y x y x y xy x Z 43+=求的最大值，如图（2）所示，Z 当直线：向右上方移动，经过可行域上0l 043=+y x 的点，此时直线距离原点最远，取得最大值。
由 得点的坐标为M Z ⎩⎨=+1532y x M ，代入得, .)3,3(y x Z 43+=21Z max =从图解法来看,它只适用线性约束条件中决策变量为二元一次线性规划问题的求解.对于含有三个或三个以上的求解,用图解法无法下手.如何求多元线性规划问题的解呢?下面我们以例1-2为例,介绍单纯形法的求解方法.2.单纯形法目标函数 max2143x x Z +=线性约束条件s.t⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤0,1532923212121x x x x x x 先将其标准化,就是把约束条件中的不等式增加新的变量,转化为等式.如下:s.t⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+=+0,,,,1532923543215214231x x x x x x x x x x x x 则目标函数为:. 其中,把称为松弛变量.列如下5432100043max x x x x x Z ⋅+⋅+⋅++=543,,x x x 表:显然，第一行中的值最小，故选进基，将第一行乘以0加到第二行，再将第一行乘jx b1x 以-选进基，先将第三行乘以后，然后分别在乘以加到第二行，乘以加到第四行，2x 32-4-乘以0加到第一行，得到下表：3 4 0 0 0B c B x j c j x b / bj x 1x 2x 3x 4x 5x 33 1 0 1 0 0 第一行 1x 0 3 0 0 4/31 0 第二行 4x 430 1 /30 0 第三行 2x 2-第四行Z -21-3/1-最终是将第四行中所对应的系数全部变为0，而引进的松弛变量所对应的系21,x x 543,,x x x 数化为非正数，就找到了最优解。
所以最优解为,3,321==x x ， 0,3,0543===x x x .21max =Z 四． 线性规划的简单应用 1．物资调运问题（产销平衡）运输问题一般是某种物资有个产地，产量分别为个单位；有个销地n i A ),,2,1(n i ⋅⋅⋅=i a m ，销量分别为个单位，与之间的单位运价为，问应如何安排运输j B ),,2,1(m j ⋅⋅⋅=j b i A j B ij c 的方案，才能使总运费最低？[例] 甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别为300t,750t ，A 、B 、C 三地的需要该产品得数量分别为200t,450t,400t ，甲地运往A 、B 、C 三地的费运分别为6元/t, 3元/t,5元/t ，乙地运往A 、B 、C 三地费运分别为5元/t,9元/t,6元/t ，问怎样调运，才能使总运费最低？分析：销地 产地 单位运费到A 到B 到C 资源限额甲 6 3 5 300t 乙5 96 750t 销量(需要量) 200t 450t 400t解法一（图解法）：设甲地生产的某种产品运往 A 、B 、C 三地数量分别为t ，t, t, x y )300(y x --则乙地生产的产品运往A 、B 、C 三地数量分别为t, t,)200(x -)450(y -t,据题意得：)]300(400[(y x ---⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤≤≤≤300045002000y x y x则 ，715052+-=y x Z 即 。
)7150(5152Z x y -+=由图（3）可知：当最大时，最小。
即过点（0，300）时，。
Z -7150Z 5650min =Z注：我们要理顺题目中的各量之间的关系，设出未知数，列出约束条件，找到目标函数，如果是三个未知量用图解法是无法求解，因此在此题中我们只设产品运往A 、B 、两地的数量分别为t ，t ，然后利用，表示出运往C 地的量，再用图解法进行求解。
x y x y 解法二（最小元素法）：从上表中看到，甲、乙运往A 、B 、C 三地的费运中，甲运往B 的费运最少，以3为顶点的矩形只有两个，如下：③ ③3+59+6 5+93+6<>所以3为全优元素，而B 地的需求量为450吨，故将甲生产的300t 全部运往B 地，然后将表中的第一行元素划掉，如下：甲 6 3 5乙 5 9 6则剩余的全部由乙地运往A 、B 、C 三地，即由乙运往A 地200 t ，运往B 地150 t ，运往C 地400 t ，总费运为=5650。
4006150920053003⨯+⨯+⨯+⨯=Z 如果甲生产的产品运往B 之后有剩余，而且也满足B 地的需求量，我们应将B 所在的列的元素全部划掉，然后在剩余的元素中再找最小元素，依次类推。
2．合理下料问题下料问题是加工业中常见的一种问题，其一般的提法是把一种尺寸规格已知的原料切割成给定尺寸的几种毛坯，问题是在零件毛坯数量给定的条件下，如何割才能使废料最少？[例] 某工厂有一批长为2.5m 的条形钢材，要截成60cm 和42cm 的两种规格的零件毛坯，找出最佳的下料方案，并计算材料的利用率。