简单的线性规划练习 附答案详解一、选择题1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(0,1)2.若2m ＋2n <4，则点(m ，n )必在( )A ．直线x ＋y －2＝0的左下方B ．直线x ＋y －2＝0的右上方C ．直线x ＋2y －2＝0的右上方D ．直线x ＋2y －2＝0的左下方3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34 4.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥22x －y ≤4x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2 B ．6 2C ．6D ．35.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋y ≥2y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．5D ．76.已知A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及边界运动，则z ＝x －y 的最大值及最小值分别是( )A ．－1，－3B ．1，－3C ．3，－1D ．3,17.在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 的三边所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝0,2x ＋3y ＝30，则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( )A ．95 B ．91C ．88D ．758.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元 D ．27万元9.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a－3，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≥1B ．a ≤－1C ．－1≤a ≤1D ．a ≥1或a ≤－1 10.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≥02y －x ＋1≥0x ＋y －4≤0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．411.当点M (x ，y )在如图所示的三角形ABC 区域内(含边界)运动时，目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,1]C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,1)12.已知x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋y ≤2x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a＝( )A ．0B.13C.23 D ．113.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤2x －1x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3 二、填空题14．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y ≤1x ＋2y ≥1，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为________．15．毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为________元.16．已知M 、N 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1x －y ＋1≥0x ＋y ≤6所表示的平面区域内的不同两点，则|MN |的最大值是________．17.如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，点P (a ，b )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0内任意一点，则b ＋1a －1的取值范围是________．18．若由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n x －3y ≥0y ≥0(n >0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m ＝________.三、解答题19．若x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －12≤03x －2y ＋10≥0x －4y ＋10≤0，求z ＝x ＋2y 的最小值，并求出相应的x 、y 值．20．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？工人(名)资金(万元)甲 4 20 乙85[答案] B[解析] ∵点O (0,0)使x －2y ＋4>0成立，且点O 在直线下方，故点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方⇔－2－2t ＋4<0，∴t >1. [点评] 可用B 值判断法来求解，令d ＝B (Ax 0＋By 0＋C )，则d >0⇔点P (x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方；d <0⇔点P 在直线下方． 由题意－2(－2－2t ＋4)>0，∴t >1. [答案] A[解析] ∵2m ＋2n ≥22m ＋n ，由条件2m ＋2n <4知， 22m ＋n <4，∴m ＋n <2，即m ＋n －2<0，故选A. [答案] C[解析] 平面区域如图．解⎩⎨⎧x ＋3y ＝43x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ()0，43，|BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43.[答案] D[解析] 不等式组表示的平面区域为图中Rt △ABC ，易求B (4,4)，A (1,1)，C (2,0) ∴S △ABC ＝S △OBC －S △AOC＝12×2×4－12×2×1＝3. [答案] B[解析]在坐标系中画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋y ≥2y ≥3x －6所表示的可行域为图中△ABC ，其中A (2,0)，B (1,1)，C (3,3)，则目标函数z ＝2x ＋y 在点B (1,1)处取得最小值，最小值为3.[答案] B[解析] 当直线y ＝x －z 经过点C (1,0)时，z max ＝1，当直线y ＝x －z 经过点B (－1,2)时，z min ＝－3.[答案] B[解析] 由2x ＋3y ＝30知，y ＝0时，0≤x ≤15，有16个；y ＝1时，0≤x ≤13；y ＝2时，0≤x ≤12； y ＝3时，0≤x ≤10；y ＝4时，0≤x ≤9； y ＝5时，0≤x ≤7；y ＝6时，0≤x ≤6； y ＝7时，0≤x ≤4；y ＝8时，0≤x ≤3； y ＝9时，0≤x ≤1，y ＝10时，x ＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．[答案] D[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x 吨，y 吨，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤132x ＋3y ≤18x ≥0y ≥0，获利润ω＝5x ＋3y ，画出可行域如图，由⎩⎨⎧3x ＋y ＝132x ＋3y ＝18，解得A (3,4)． ∵－3<－53<－23，∴当直线5x ＋3y ＝ω经过A 点时，ωmax ＝27.[答案] C[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值．又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴－1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.[答案] C[解析] 由题意可知，不等式组表示的可行域是由A (1,3)，B (3,1)，C (5,2)组成的三角形及其内部部分．当z ＝x ＋my 与x ＋y －4＝0重合时满足题意，故m ＝1.[答案] B[解析] 由目标函数z ＝kx ＋y 得y ＝－kx ＋z ，结合图形，要使直线的截距z 最大的一个最优解为(1,2)，则0≤－k ≤k AC ≤1或0≥－k ≥k BC ＝－1，∴k ∈[－1,1]．[答案] B[解析] 依题意可知a <1.作出可行域如图所示，z ＝2x ＋y 在A 点和B 点处分别取得最小值和最大值．由⎩⎨⎧x ＝a y ＝x 得A (a ，a )， 由⎩⎨⎧x ＋y ＝2x ＝y 得B (1,1)， ∴z max ＝3，z min ＝3a .∴a ＝13.[答案] B[解析] 画出x ，y 满足条件的可行域如图所示，可知在直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点A 处，目标函数z ＝x －y 取得最小值．由⎩⎨⎧y ＝2x －1x ＋y ＝m， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋13y ＝2m －13，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫m ＋13，2m －13.将点A 的坐标代入x －y ＝－1，得m ＋13－2m －13＝－1，即m ＝5.故选B. [答案] 2[解析] 可行域为图中阴影部分△ABC ，显然当直线2x ＋y ＝z 经过可行域内的点A (1,0)时，z 取最大值，z max ＝2.[答案] 116[解析] 设租大船x 只，小船y 只，则5x ＋3y ≥48，租金z ＝12x ＋8y ，作出可行域如图，∵－53<－32，∴当直线z ＝12x ＋8y 经过点(9.6,0)时，z 取最小值，但x ，y ∈N ，∴当x ＝9，y ＝1时，z min ＝116. [答案]17[解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，由图形易知，点D (5,1)与点B (1,2)的距离最大，所以|MN |的最大值为17.[答案][]－1，－12[解析] ∵直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于M 、N 两点，且M 、N 关于x ＋y ＝0对称，∴y ＝kx ＋1与x ＋y ＝0垂直，∴k ＝1，而圆心在直线x ＋y ＝0上，∴－k2＋()－m 2＝0，∴m ＝－1，∴作出可行域如图所示，而b ＋1a －1表示点P (a ，b )与点(1，－1)连线的斜率，∴k max ＝0＋1－1－1＝－12，k min ＝－1，∴所求取值范围为[]－1，－12.[答案] －33[解析] 根据题意，三角形的外接圆圆心在x 轴上，∴OA 为外接圆的直径，∴直线x ＝my ＋n 与x－3y ＝0垂直，∴1m ×13＝－1，即m ＝－33.[解析] 根据条件作出可行域如图所示，解方程组⎩⎨⎧x ＋4y －10＝03x －2y ＋10＝0，得A (－2,2)．再作直线l ：x ＋2y ＝0，把直线l 向上平移至过点A (－2，2)时，z 取得最小值2，此时x ＝－2，y ＝2. [解析] (1)依题意得⎩⎨⎧P 甲－P 乙＝0.251－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎨⎧P 甲＝0.65P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4. (2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤3220x ＋5y ≤55x ≥0y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y .作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域． 作直线b ：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，且l 1与原点的距离最大，此时z 取最大值．解方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝84x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M的坐标为(2,3)，所以z的最大值为z max＝0.65×2＋0.4×3＝2.5。