线性规划教案
1.若x、y满足约束条件
2
2
2
x
y
x y
≤
⎧
⎪
≤
⎨
⎪+≥
⎩
，则z=x+2y的取值范围是（）
A、[2,6]
B、[2,5]
C、[3,6]
D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A
2.不等式组
260
30
2
x y
x y
y
+-≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≤
⎩
表示的平面区域的面积为
（）
A、4
B、1
C、5
D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面
积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B
3.满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）
A、9个
B、10个
C、13个
D、14个
解：|x|＋|y|≤2等价于
2(0,0)
2(0,0)
2(0,0)
2(0,0) x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
+≤≥≥
⎧
⎪-≤≥
⎪
⎨
-+≤≥
⎪
⎪--≤
⎩
作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D
四、求线性目标函数中参数的取值范围
4.已知x、y满足以下约束条件
5
50
3
x y
x y
x
+≥
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪≤
⎩
，使
z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值
为（）
A、－3
B、3
C、－1
D、1
解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函
数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将
l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D
5.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产
一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?
解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0
05628.008.07209.018.0y x y x y x 而z =6x +10y .
如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.
作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z =6x
+10y 取最大值解方程组⎩
⎨
⎧=+=+56
28.008.072
09.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答:应生产圆桌
350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.
指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一 6.有一批钢管，长度都是4000mm ，要截成500mm 和600mm 两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小于3
1
配套，怎样截最合理？
解：设截500mm 的钢管x 根，600mm 的y 根，
总数为z 根。

根据题意，得 ，
目标函数为
，
作出如图所示的可行域内的整点，
作一组平行直线x+y=t ，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B （8，0）的直线，这时x+y=8.由于x,y 为正整数，知（8，0）不是最优解。

显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使x+y=7，可知点（2，5），（3，4
），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．答：略．
点评：本题与上题的不同之处在于，直线x+y=t 经过可行域内且和原点距离最远的点B （8，0）并不符合题意，此时必须往下平移该直线，在可行域内找整点，比如使x+y=7，从而求得最优解。

从这两例也可看到，平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数又较少，但作图要求较高。

7.已知,x y 满足不等式组230
236035150x y x y x y -->⎧⎪
+-<⎨⎪--<⎩
，求使x y +取最大值的整数,x y ．
解：不等式组的解集为三直线1l ：230x y --=，2l ：2360x y +-=，3l ：35150x y --=所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为,,A B C ，则,,A B C 坐标分别为
153(,)84A ，(0,3)B -，7512(,)1919
C -， 作一组平行线l ：x y t +=平行于0l ：0x y +=，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大， ∴当l 过C 点时x y +最大为
6319，但不是整数解，又由75
019
x <<知x 可取1,2,3， 当1x =时，代入原不等式组得2y =-， ∴1x y +=-；当2x =时，得0y =或1-， ∴2x y +=或
1；
当3x =时，1y =-， ∴2x y +=，故x y +的最大整数解为20x y =⎧⎨=⎩或3
1x y =⎧⎨=-⎩
．
8.某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：
问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？
解答提示：
1．设x ，y 分别为甲、乙两种柜的日产量，
目标函数z=200x ＋240y ， 线性约束条件：
z最大=200×4＋240×8=2720
答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获最大利润2720元．。