径向分布图
2 R ( r ) 与 R r)的 形 状 只 与和有 n l 关 nl , nl , ( 2 当 半 径 增 加 时 ， R ( r ) 与 R r) 都 很 快 趋 于 零 ， 离 核 较 远 的 地 方 发 现 nl , nl , (
电 子 的 概 率 非 常 小 。
2 n 越 大 ， R ( r ) 与 R r) 函 数 图 形 的 伸 展 范 围 越 大 ，决 n 定 波 函 数 伸 展 nl , nl , (
电子层结构。
2.3 波函数及电子云的图形
( r ,,) R ( r ) Y ( ,)
n l m n l l m
波函数(Ψ，原子轨道)和电子云(|Ψ|2在空间的分布)是三 维空间坐标的函数，将它们用图形表示出来，使抽象的数学 表达式成为具体的图象，对于了解原子的结构和性质，了解 原子化合为分子的过程都具有重要的意义。 Ψ随r的变化关系----径向分布;
20
0.00 0
10
20

r/a r/a00
径向分布图
2 pn ( 2 ,l 1 )
1( sn 1 ,l 0 )
2 s( n 2 ,l 0 )
3 s( n 3 ,l 0 )
3 pn ( 3 ,l 1 )
3 dn ( 3 ,l 2 )
2 径 向 密 度 函 数 Rr () r 图 n , l
教学目标和要求
第三节 波函数和电子云的图形 掌握 s、p、d原子轨道轮廓图及其特征
第四节 多电子原子的结构
掌握 简单多电子原子体系的Schrödinger方程的表示方法； 简单多电子原子的全波函数表示——Slater行列式。 第五节 元素周期表与元素周期性质 掌握 基态原子核外电子排布原则，第三周期前任一元素的
径向分布图
R10 2 1 0.0 0 0 1 2 0.0 0 5 R20 0.5 0.1 R21
3
4
r/a0 0
5
10
r/a0
10
r/a0
径 向 波 函 数 Rr () r 图 n , l
R30 0.2 0.1 0.0 -0.1 0 10 20 r/a0 0.00 -0.05 0 10 r/a0 R31 0.05 R32 0.04 0.02



意义：
r R (r) d r Dr ( )d r
2 2 0 0


D(r)：表示半径为r的球面上电子出现的概率密度 D(r)dr：表示半径为r，厚度为dr的球壳内电子出现的概率
径向分布图
22 径 向 分 布 函 数 r R ( r ) r 图 n , l
径向分布图
但 l 值 越 小 ， 峰 数 目 越 多 ， 最 内 层 的 峰 离 核 最 近 ( 钻 穿 效 应 ) 。
径向分布图
思考：两图是否矛盾
径向分布图
比较D(r)和 2(r)
D10, r=a0, 即在半径 a0 处取得极大，而 1s2 则在核附近取得极大。D10与1s2的不同之
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0
处在于它们代表的物理意义不同， 1s2 是
几率密度，而 D10是半径为r处的单位厚度 的球壳内发现电子的几率，在核附近，尽 管 1s2很大，但单位厚度球壳围成的体积 很小，故几率 |1s|2d 自然很小。 r 很大处
D 1s
2
1 2 3 4 5
，尽管单位厚度球壳围成的体积很大，但
1s2 几乎为零，所以只有两个因子 |1s|2 与
Dnl(r)的来历
2 把 在 , 的 全 部 变 化 范 围 积 分 ：
2 2 ( r , , ) r s in d d d r 0 0 0 2 ( ) ( )d ( )s in d r2R (r) d r 2 0 0 0 2 2
2 2. 径 向 密 度 函 数 R 图 n,l (r) r
表 示 任 意 给 定 角 度 方 向 上 (即 一 定 和 )， 概 率 密 度 2随变 r 化 情 况 。 即 ：
2 2 2 2 R ( r ) / R ( r ) ( r , , )/ n,l 1 n,l 2 1 2 (r 2,,) 1
规律
球节面数 n-l-1 极大值数 n-l
最可几半径：最大的极大值所对应的r为最可几半径
n 不 同 ， l 相 同 ： 主 量 子 数 小 的 轨 道 主 峰 靠 近 原 子 核 的 内 层 ， 所 以 能 量 低 。 n 相 同 ， l 不 同 ： 虽 然 主 峰 位 置 随 l 的 增 大 而 向 核 靠 近 ，
范 围 越 大 。 nl 1 时 ， 会 出 现 R r) 0 的 球 节 面 ， 即 在 这 个 球 节 面 上 发 现 电 子 nl , ( 的 概 率 密 度 为 零 。 球 节 面 的 个 数 ： n-l -1
径向分布图
2 2 3 .径 向 密 度 函 数 r Rr () r 图 n , l 2 2 定 义 ： D () r r Rr () 为 径 向 分 布 函 数 n , l
Ψ随θ,φ的变化情况称为角度分布;
Ψ随r, θ, φ的变化情况，即空间分布。
2.3.1 径向分布图
径 向 分 布 图 形
2 2 2 研 究 ： R ( r ) 、 R ( r ) 、 r R r ) nl , nl , nl ,(
1.径 向 波 函 数 R 图 n,l (r) r 表 示 任 意 给 定 角 度 方 向 上 (即 一 定 和 )， 波 函 数变 r 化 情 况 。 即 ： R n,l (r 1) / R n,l (r 2 ) 1(r 1,,)/2(r 2,,)
d 适中时，才有最大的乘积。
氢原子1s电子的分布图
2.3.2 角度分布图
★ 原子轨道的角度分布 Ylm ( , )
( r , , ) R Y (, )
n l m n ll m
从坐标原点(原子核)引出一直线，方向为(,)，长度为 |Y| ，将所有这些直线的端点联接起来，在空间形成一个封 闭曲面，它表示同一个球面上各点 值的相对大小。