2.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为。

2ln 2α=证：考虑到由两种一价离子组成的一维晶格的内能（相互作用能）仅与库仑势有关，可写作：
2
20
000
(1)44(1)111
2(1)2ln 2
234n n n n q q U nr r n α
πεπεα≠≠-=
=--∴=-=-⨯-+-+-=∑∑ 注：。

2是考虑左右离子对称。

234
111ln(1)234
x x x x x +=-
+-+ 2.2讨论使离子电荷加倍所引起的对NaCl 晶格常数及结合能的影响（排斥势看作不变）。

解：（1）晶格常数
电荷加倍前： 206(()
4n n e b A B
U N N r r r r
απε=-+=-+ 由平衡条件：，可得 。

()
0r r U r r =∂=∂110()n nB r A -= 电荷加倍后： 2'
0464((4n n e b A B
U N N r r r r
απε=-+=-+ 同样由平衡条件：，可得
'
'()0r r U r r =∂=∂1'
10()4n nB r A -=所以 ，即时，晶格常数可认为不变。

001
1'
4r r r n ≈=--
1>>n （2）结合能
电荷加倍前： 20001
()(1)
4N e W U r r n
απε=-=-电荷加倍后： 22'
''
1
1'
001
0041
4()(14
444
n n n N e N e W U r W
r n
r ααπεπε---=-=-==当时，有，结合能增加为原来的4倍。

1>>n W 'W 4=2.3若一晶体两个离子间的相互作用能可表示为 ，晶体体积为
(A 为常数，N 为原胞数目），试求：（1）平衡间距；（2）结合能W （单个离
3NAr V =子的）；（3）体弹性模量的表达式；（4）若取Å,eV,求值。

02,10,3m n r ===4W =,αβ解： （1）平衡间距
()=-
+m n
αβ
U r r r
由平衡条件 ，可得 0
()
0r r U r r =∂=∂1
0(
n m n r m βα-=（2）单个离子的结合能
()m
n m
m
n m n m n n m r r r r r U W ---⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-=αβααβ
αβα12122120
00m 00（3）体弹性模量
晶体体积3
NAr V =晶体内能：()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=
n m r r N r U βα22
1131
2NAr r n r m N V r r U V U n m ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂⋅∂∂=∂∂++βα()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+-+-⋅=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⋅+-⋅⋅⋅=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂⋅∂∂⋅=∂∂++n m n m n
m n m
n m r n r m r n r m V N r n r
m NAr r n n r m m NAr NAr N NAr r n r m r V r N V U βαβαβαβ
αβα3318321131312312222
44221122体弹模量：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂⋅=n
m n m V r n r m r n r m V N V V U
V K 0002022002
2033180
β
αβα由平衡条件：
0312*******
=⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∂∂⋅∂∂=∂∂++==NAr r n r m N V
r
r U V
U n m V V V V βα得，即01010
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++n m r n r m βαn m r n r m 00β
α=则
()00
000000000
00020220
02
20929181833180U V mn
r r N V mn r r V mnN r mn r mn V N r n r m r n r m V N V V U
V K n m m n m n n
m n m V -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+-+-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅=βααβαββ
αβα(4) ，10(
)n m
n r m β
α
-=m
m
n m
r n
m n m n n m W ---⋅⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=
0212ααβα()()
220A
90321041022 ⋅=⨯-⨯⨯=⋅-=eV r m n nW m
α108
0A
116838649118310
902 ⋅=⨯=⨯⨯=⋅=-eV r n m m n αβ。