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(3)设X (c1 , c2 , , cr , k1 , k2 , , knr )T 是方程组 的任意解，则X k1 X1 k2 X 2 knr X nr (d1 , d 2 , , d r ,0,0, ,0)T 是齐次方程组的解，代入BX = 0，得
b11 b12
同理，分别将xr1 ,
xr2 ,
,
x
的
n
值(0,1,
,0),
,
(0,0, ,1)代入BX = 0，求出(4.2)的解
X 2 (c12 , c22 , , cr 2 ,0,1, ,0)T ;
X nr (c1,nr , c2,nr , , cr ,nr ,0,0, ,1)T ;
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(1) X1, X 2 , , X nr是AX = 0的解； (2)考虑k1 X1 k2 X 2 knr X nr 0，即
b1n b2n
AB 0
0
0 0
brr 0
br ,r 1 0
brn 0
0
0
0
0
0
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将未知量xr1 , xr2 , BX = 0，去掉0= 0的等式，
移项得线性方程组
b11 0
b12 b22
(l1 , l2 , , lr , k1 , k2 , , knr )T (0,0, ,0,0, ,0)T ，
nr
其中li k jcij ,( j 1,2, , n r;i 1,2, , r) j 1
有k1 0, k2 0, , knr 0， 故X1, X 2 , , X nr线性无关。
0
1
x1 2x2 3x3 0
例
3 2
x1 x1
6 x2 5 x2
10 x3 7 x3
0 0
x1 2x2 4 x3 0
解：
1
A
3
2
1
2 6 5 2
3
10
7
4
1 0
0 0
2 1 0 0
3 1 1 0
r A 3 n, 所以只有零解。
线性表示。
则称向量组(I)是齐次线性方程组 AX 0
的一个基础解系。
若X1 , X 2 , , X t是(4.2)的一个基础解系， 则(4.2)的任意解是基础解系的一个线 性组合，又基础解系的任意线性组合是 (4.2)的解，所以(4.2)的解集合(解空 间)就是
S k1 X1 k2 X 2 kt X t k1 , k2 , , kt P
向量的(I)线性表出，故线性相关。
(3) 若1 ,2 , ,nr (III )是AX = 0的线性无关 的解，是AX = 0的任一解，1 ,2 , ,nr ,线性 相关。因而可由(III)线性表出，(III)是
AX = 0的基础解系。
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例2 求齐次线性方程组
2x1x122xx2 2x33
而秩(I)= B的列秩= rB，秩(II)= n rA。 综上，rB n rA。
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1 3 2 2 1
例 设A= 0 1 1 1
3
0 2 1 2 8
试求齐次线性方程组
AX=0的一个基础解系 与通解.
1 3 2 2 1
解
A 0 1 1 1
3
0 0 1 0 2
秩A=3 ,基础解系含 5－3=2个向量,
第五节齐次线性方程组
• 齐次线性方程组(4.2)有 非零解的充要条件
• 齐次线性方程组解的性 质
• 基础解系 • 解的结构 • 练习题
1. 齐次线性方程组(4.2)有非零解的充要条件
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 a21x1 a22 x2 a2n xn 0 ………………………………… …as1x1 as2 x2 asn xn 0.
0
0
b1r b2r
brr
x1 x2
xr
b1,r 1 b2,r 1 br ,r 1
............(4.6)
系数行列式D b11b22 brr 0，
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由Gramer法则，(4.6)有唯一解，得(4.2)
的一个解X1 (c11, c21, , cr1 ,1,0, ,0)T 。
(4.2)
系数矩阵 A [aij ]sn ,(4.2)又可表示为 AX 0,
或向量形式
x11 x22 xnn 0
其中 A [1 2 n ].
定理8 以下命题等价(即互为充要条件): (1) AX=0(4.2) 有非零解;
(2) 1,2, ,n线性相关; (3) 秩{1,2, ,n} n;
(4) 秩 A<n.
证明 由矩阵、向量的运算、线性相关定义,得(1)推(2),
(2)--3)-(4)-(3)-(2)-(1) 于是, 以上4个命题相互等价.
推论：齐次线性方程组 (4.2) 只有零解 r A n
2. 齐次线性方程组解的性质 (解向量的和,数乘仍是 解)
性质1 若X1, X 2是AX 0 (4.2)的 解, 则 x k1 X1 k2 X 2是AX 0 (4.2)的 解.
系数
矩阵A
1 0
3 1
2 1
2 1
31施行
0
2
1
2
8
1 0 5 1 10
2( 2 ) ( 3)
初等行变换化简：A 3(2)(1) 0 1 1 1 3
0
0
1
0
2
1 0
0 1
0 0
1 1
20 5
B，
0 0 1 0 2
得到问题的同解方程组BX= 0。
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阶梯形矩阵B有三行不为零，rB 3。B的1、2、3
含n - r个解向量。
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定义：齐次线性方程组的基础解系又称为解空间 的基。
推论 设齐次线性方程组AX= 0(4.2)的系数 矩阵A是s n矩阵，若rA r n，则 (1)(4.2)的每个基础解系都含有n- r个解向量； (2)(4.2)的任意n - r +1个解向量线性相关； (3)(4.2)的任意n - r个线性无关的解都是它的 一个基础解系。
1 0 0 1 20
0
0
1
0
0
1
1
0
5
2
又
取x取4 ,xx45的, x一5的组一值组(0,值 1),(1解,0出),x解3
出 x3 2,
0, x2
x2 5,
1, x1
x1 20.
1;
1
20
则X1
1
0
1
, X2
25
0
是原方程组的一个基础解系, k1 X1 k2 X 2 (k1 , k2为 任 意 常 数)是 通 解.□
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证明：设矩阵B与AB= 0右端的零矩阵的列分
块矩阵分别为B (1 , 2 , , m ),0 (0,0, ,0)，
由分块矩阵乘法，
A(1 , 2 , , m ) (0,0, ,0),
( A1 , A 2 , , A m ) (0,0, ,0)
或A j 0( j 1,2, , m)。
的解。
齐次线性方程组的解的集合V称为齐次线方 程组的解空间(space of solution)。
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3. 基础解系 定义12 设A是一个s×n矩阵, 如果:
(1) 向量组 X1 , X 2 , , X t (I )线性无关 ;
(2)
X1, X2,
,
X
中
t
的
每
个
向
量都是AX=0的解；
(3) AX=0 的任一解都可以由 X1, X 2 , , X t (I )
6 1(2 )(1)
0
6
3 12 18
1 0 2 2 2 0 2 1 4 6 B 0 0 0 0 0
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rA rB 2，基础解系含5- 2 = 3个向量。 分别将x3 , x4 , x5的3组值(2,0,0),(0,1,0), (0,0,1)代入BX = 0，的基础解系：
X1 (4,1,2,0,0, )T , X 2 (2,2,0,1,0, )T ,
X 3 (2,3,0,0,1)T
原方程组的通解为k1 X1
k2
X2
k
3
X
，
3
其
中k1
,
k
2
,
k
为
3
任
意
常
数
。
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例3 设A为s n矩阵，B为n m矩阵，AB= 0。 试证：rB n rA (或rA rB n)。 分析：是齐次线性方程组AX= 0的基础解系 所含向量的个数，故可将问题转化为齐次 线性方程组的解的问题。
（可推广至有限多个解）
证明
由题设知 AX1 0, AX 2 0,
则 Ax A(k1 X1 k2 X2 ) k1 AX1 k2 AX 20,
故 x k1 X1 k2 X 2是AX 0 的 解.
推论 齐次线性方程组(4.2)的解
X1,
X 2 ,
,
X
的
t
任
意
线
性
组
合
k1 X1 k2 X 2 kt X t也是(4.2)
即1, 2 ,
,
(
m
I
)
是
齐
次
线
性
方
程组