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高等传热学相变导热解(移动边界)

高等传热学导热理论——相变导热(移动边界问题)讨论
第五讲:相变导热(移动边界问题):
移动边界的导热问题有许多种,本讲只讲固液相变时的导热模型。

5.1 相变换热特点与分类: 特点:
(1) 相变处存在一个界面把不同相的物质分成两个区间(实际不是一个面,
而是一个区)。

(2) 相变面随时间移动,移动规律时问题的一部分。

(3) 移动面可作为边界,决定了相变问题是非线性问题。

分类:
(1) 半无限大体单区域问题(Stefan Question ) (2) 半无限大体双区域问题(Neumman Question ) (3) 有限双区域问题
5.2 相变导热的数学描述和解: 假定:固液两相内部只有导热,没有对流(适用于深空中相变)。

物性为常量。

不考虑密度变化引起的体积变化。

控制方程:
对固相:
2
21s s s t t a x
τ
∂∂=∂∂ 对液相:
2
2
1l l l t t a x
τ
∂∂=
∂∂
初值条件:0:s l t t t τ∞=== 边界条件:
0:::s l w l s l s x t ort t x t ort or
x t ort t ∞
===∞≠∞
=∆=
在相变界面,热量守恒,温度连续,Q l 为相变潜热:
()():s l s
l
l l
s l p t t d x Q and
t t t x
x
d δτδτλλρτ
∂∂==+==∂∂
5.2.1 半无限大体单区域问题(Stefan Question )的简化解:
以融解过程为例:
忽略液相显热,
2
210l l l t t a x
τ
∂∂==∂∂,方程解为一直线,由边界条件得:
()/l w p w t t t t x δ
=+-
对固相,忽略温差:w p t t t ∞==,即固相温度恒等于相变温度等于初始温度。

由相变处得换热条件求δ的变化规律:
()()():0()l l l
l l
p w l l
t d d x Q t t Q x
dx
d λδτδτδτλρρδ
τ
δ∂==+=
-+∂=
=
式中:()/l l p w l Ste c t t Q =-叫Stefan ’s Number ,物理意义是相变时液相显热和液固潜热比。

液体厚度与时间的开平方成正比。

所以:
进入物体的融解热流密度为:0
)l l
x w p t q t t x
λ=∂=-=
-∂,
热流密度与时间的开平方成反比。

5.2.2 半无限大体单区域问题(Stefan Question )的精确解:
同样以融解过程为例:
对液相,
2
21l l l t t a x
τ
∂∂=∂∂,设方程解为(满足初始条件):
(/
l t A Berf x =+
由边界温度条件得:
l w p w
t t t t -=-
对固相,忽略温差:w p t t t ∞==,即固相温度恒等于相变温度等于初始温度。

由相变处得换热条件求δ
的变化规律,设/δΩ=度也与时间的开平方成正比。

上式是关于凝固常数的方程,叫相变问题的特征方程。

进入物体的融解热流密度为:0
()l l
x t t t q x
λλ=-∂=-=
∂,热流密度同样
与时间的开平方成反比。

5.2.3 半无限大体双区域问题(Neumman Question )的精确解:
同样以融解过程为例:
对液相,
2
21l l l t t a x
τ
∂∂=∂∂,设方程解为(满足初始条件):
2
()():)0
exp()()())/l l l l
p w l w p l l l l t d x Q x d t t erf t t Q a Ste δτδτλρτ
λ∂=+∂=
-+
=ΩΩΩ=-=
(/
l w t t Aerf x =+
由边界温度条件得:
l w p w
t t t t -=
-
,t t A -=
对固相,
2
21s s s t t a x
τ
∂∂=
∂∂,设方程解为(满足初始条件):
(/
l t t Berfc x ∞=+
由边界温度条件得:
s p t t t t ∞∞
-=
-
,t t B -=
由相变处得换热条件求δ
的变化规律,设/δΩ=
度也与时间的开平方成正比,/δΩ=。

得相变问题的特征方程:
(
)
2
l x t A
x e
δ
=Ω∂=∂(
)
2
s x t B
x
e
δβ=Ω∂=-

(
)
()
2
2
))
()/()/exp()()
exp()()
p w p l w p l l l s p l l l t t t t t t a Q t t a Q erf erfc λρλβρ∞∞-+
=-
----
=
ΩΩΩΩΩ
Ω
2
2
/exp()()
exp()()
l
s s l Ste Ste erf erfc βρρ-
=
ΩΩΩΩΩΩ
进入物体的融解热流密度为:0
()l l
x t t t q x
λλ=-∂=-=
∂,热流密度还是
与时间的开平方成反比。

5.2.4 非线性问题求解方法总结:
对非线性问题,直接求解难度大,一般是进行适当简化,在简化基础上构造
()():l s l
l l
s
t t d x Q x
d x
δτδτλρλτ
∂∂=+=∂∂
一个满足大多数唯一性条件的,保留部分待解常数的解函数。

将这个解函数代入余下的唯一性条件,求出待解常数,即为近似解或精确解。

5.3 关于湖水结冰问题的讨论:
几何条件假定:湖面很大,也很深,看成半无限大体。

换热条件假定:结冰前湖水均温,为t ∞,湖水主体温度一直保持t ∞。

大气环境温度为t a ,湖面与大气间的表面传热系数为常量h 1,冰层下表面与湖水间的表面传热系数也为常量h 2。

物性假定:因为在0℃附近,冰的比热c s 《Q l ,忽略冰层热容作用。

由此可得在冰层中的温度分布为直线。

设坐标原点在湖面,冰层厚度为δ,我们根据能量守恒和平壁导热规律得:
21()1//p a p s l
s
t t d h t t Q h d δρδλτ
∞-=-++ (1)
冰层温度分布:()/s w p w t t t t x δ=+- 求解δ,令
()()()()()
112
2
2
11///////s p p a s s s p a l
s s s s s h m t t t t R h h Ste Fo
Ste c t t Q Fo h c a h δδλττρλτλ∞==--===-==
代入(1)式:
()
()22
11
()1
11(1)
1p s s l
p a p
a h t t d d Q m R d h t t h t
t d d m R d λδδρδτ
τ
δδτ
δ
∞-=
+=+
+---+=
+
00,,00s t t ττδδ∞=→===→=
(
)
2
11
11(1)
0.5
/(1d d m R du m δδτ
δτ++=-+=-⎰
{ln[1/(1)]}/(,)mR mR mR f mR τδδδ=----=
讨论:当()max ,1/mR mR τδ→∞→-。

mR 一定时,冰层的最大厚度也就确定。

此时湖水对冰层的自然对流热流量等于湖面对大气散发的热流量,湖水凝结停止。

当0p t t m R ∞=→=,湖水比热无穷大,(
)2
2111τδδ=+-→=此种情况冰层没有极大值,可一直增厚。

即11)/s h δλ=。

当1m R =,冰层得到的热流量等于散出的热流量,
ln 0,c c τδδτδ=--→==-,此种情况由于厚度不能为负值,故不会结冰,尽
管t a 小于冰点。

当,p w a t t t t ∞==,湖水比热无穷大(或湖水与冰间的换热系数无穷大),湖面与大气换热系数无穷大,有:p w
p w
s
s l
s
s l
t t t t d Q d d d Q δλρλτδδ
δ
τ
ρ--=→=
δ=
=
此即Stefan 近似解。

此处的分析方法又叫做准稳态近似法。

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