第1页共12页2021年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷参考公式：锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高.第一部分 选择题（每小题分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1.设全集I {0,1,2,3}=，集合{0,1,2}M =，{0,2,3}N =，则IM N = （ ）.A {1} .B {2,3} .C {0,1,2} .D ∅2.函数()log (1)a f x x =-的定义域是 （ ） （A ）(1,0)- （B ）(0,1) （C ）(1,1)-（D ）(,1)-∞3. 如果幂函数()f x x α=的图象经过点19(3,)，则α= （ ）（A ）2- （B ）2（C ）12-（D ）124. 在平面直角坐标系xOy 中，函数2sin()6y x π=-的图象 （ ）（A ）关于直线6x π=对称 （B ）关于点(,0)6π对称（C ）关于直线6x π=-对称（D ）关于点(,0)6π-对称5. 已知向量(1,2)=-a 与向量(2)，=x b 平行，那么x 等于 （ ）13V Sh =S h 3第2页共12页（A ）1- （B ）2- （C ）3- （D ）4-6. 已知点(3,4)A 是角α终边上的一点，那么cos α等于 （ ）（A ）34（B ）43 （C ）35（D ）457.已知向量(3,1)=a ,(2,5)=-b ，则32-=a b （ ）.A (2,7) .B (13,13) .C (2,7)- .D (13,7)-8. 已知过点(2,)A m -，(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为 （ ）.A 0 .B 2 .C 8- .D 109.直线a ,b 是不同的直线，平面α,β是不同的平面，下列命题正确的是 （ ）.A 直线a ∥平面α，直线b ⊂平面α，则直线a ∥直线b .B 直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，则直线a ∥直线b.C 直线a ∥直线b ,直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β,则平面αβ∥ .D 直线a ∥直线b ,直线a ⊄平面α，直线b ⊂平面α,则直线a ∥平面α10. 222log +log 63等于 （ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）411. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 （ ）.A 35 .B 25 .C 15 .D 712. 已知4sin 5α=,且(,)2απ∈π那么cos2α等于 （ ）（A ）725-（B ）725（C ）925（D ）925-第3页共12页13．某人要去公安局办理护照，已知公安局的工作时间为9：00至17：00，设此人在当天13：00至18：00之间任何时间去公安局的可能性相同，那么此人去公安局恰好能办理护照的概率是 （ ）.A 13.B 34.C 58.D 4514. 在ABC ∆中，222a b c bc =++，则角A 为 （ ）.A 30 .B 45 .C 120 .D 15015．过点(0,1)并且与直线23y x =-+垂直的直线方程是 （ ）.A 210x y --= .B 220x y -+= .C 210x y -+= .D 220x y --=16. 如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥,3BC BD =,1AD =,则AC AD ⋅= ( ).A 1 .B.C 2 .D 017．已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π18.已知三角形的边长分别为 ） （A ）5π6（B ）2π3（C ）3π4（D ）π2第4页共12页19. 用二分法逐次计算函数32()22f x x x x =+--的一个零点附近的函数值，参考数据如下：那么方程()0f x =的一个近似根（精确到0.1）为（ ） （A ）1.2（B ）1.3（C ）1.4（D ）1.520．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，，分别是棱111111A B BB CC C D ，，，的中点，那么（ ） A ．1//BD GH B ．//BD EF C ．平面//EFGH 平面11A BCD D ．平面//EFGH 平面ABCD21. 函数3,1,5,1x x y x x +≤⎧=⎨-+>⎩的最大值为（ ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）622. 若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a =（ ） （A ）2-或2（B ）12或32（C ）0或2（D ）2-或023. 点(1,1)-到直线10x y +-=的距离是 （ ）（A ）12（B （C （D24. 已知圆221x y +=与圆22(3)4x y -+=，那么两圆的位置关系 （ ） （A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）外离第5页共12页25. 函数21()12 00，，⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩x x f x x x零点的个数为 （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）326. 已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，当*n ∈N 时，*()f n ∈N ．若 [()]3f f n n =，其中*n ∈N ，则(1)f = （ ）.A 4 .B 3 .C 2 .D 127.《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）（A ）5000~6000元 （B ）6000~8000元 （C ）8000~9000元 （D ）9000~16000元第6页共12页第二部分 解答题（共19分）28．（本小题满分5分）已知函数2()3sin(π)cos cos f x x x x --．（I ）求()f π的值和函数()f x 的最小正周期T ； （II ）求函数()f x 的单调递减区间． 该同学解答过程如下：3sin x 3sin 22sin(2x -最小正周期2π2ππ.2Tω ）由ππ3π2π22π,,262k x k k ≤≤∈Z5πππ,.6k x k k ≤≤∈Z的单调递减区间是π5π[π,π],.36k k k ∈Z)下表列出了某些数学知识：三角函数的周期性请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.第7页共12页第8页共12页29．（本小题满分5分）阅读下面题目及其证明过程，在~①⑤处填写适当的内容.如图，已知四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，侧棱BB 1⊥底面ABCD ，E 是侧棱CC 1的中点．(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDD 1B 1； (Ⅱ)求证：AC ∥平面B 1DE . 解答： (Ⅰ)因为ABCD 为菱形， 所以AC ⊥BD .因为BB 1⊥底面ABCD ， 又因为AC 平面ABCD ， 所以BB 1⊥AC . 因为BB 1∩BD ＝B ， 所以AC ⊥平面BDD 1B 1.(Ⅱ)设AC ，BD 交于点O ，取B 1D 的中点F ， 连接OF ，EF ， 所以① ，且OF ＝12BB 1.又E 是侧棱CC 1的中点， 所以EC ＝12CC 1.又因为BB 1∥CC 1，BB 1＝CC 1， 所以OF ∥CC 1，且OF ＝12CC 1.所以四边形OCEF 为平行四边形， 所以②又AC ⊄平面B 1DE ，EF ⊂平面B 1DE ， 所以③ 上述证明过程中，问题1：在（Ⅰ）的证明过程中，证明的思路是先证___，再证___．问题2：在（Ⅱ）的证明过程中，设置了三个空格. 请从下面给出的四个选项中,为每一个空格选择一个正确的选项，以补全证明过程.①AC∥平面B1DE.②BB1⊥AC.③OF∥BB1④OC∥EF.30．（本小题满分5分）某同学解答一道解析几何题：“已知直线l过原点，圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9. 直线l与圆C交于点E、F，|EF|＝求直线l的方程．”该同学解答过程如下：（Ⅰ）请指出上述解答过程中的错误之处；（Ⅱ）写出正确的解答过程.第9页共12页31．（本小题满分4分）某影院共有1000个座位，票价不分等次．根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，影票可全部售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，售出影票将减少30张．为获得更好的收益，需确定一个合适的票价，确定票价的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放映一场电影的成本支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出．用x(元)表示每张电影票的票价，用y (元)表示该影院放映一场电影的净收入（除去成本费用支出后的收入）．（Ⅰ）把y表示为x的函数，并求其定义域；（Ⅱ）票价确定为多少元时，才能使放映一场电影的净收入不低于8250元．第10页共12页第11页共12页2021年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷答案二、解答题 28.,2ααπ±π±的正弦、余弦、正切的诱导公式；三角函数的周期性；正弦函数、余弦函数在区间 [0,2]π上的性质；两角差的正弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式 ……5分29. 问题1： “线线垂直”， “线面垂直”；问题2：OF ∥BB 1，OC ∥EF ，AC ∥平面B 1DE . ……5分 30. 解答：设直线:l y kx =不对…………………………..1分设直线:0l x ny +=因为圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9. 所以圆C 的圆心C (2，－3)，r ＝3.因为直线l 与圆C 交于点E 、F ， |EF |＝设圆心C 到直线l 距离为d 所以2d ==所以2d ==第12页共12页解得120,5n = 所以 直线l 的方程为5120x y +=或0x =.…………………………..5分31.（本小题满分4分）（Ⅰ）当票价不超过10元时，10005750(6,7,8,9,10)y x x =-=．当票价高于10元时，2[100030(10)]57503013005750y x x x x =---=-+-． 由 2100030(10)0,30130057500,x x x -->⎧⎨-+->⎩ 解得15383x <<．所以210005750(6,7,8,9,10),3013005750(1138,).x x y x x x x -=⎧=⎨-+-∈⎩N ≤≤ （Ⅱ）对于10005750(6,7,8,9,10)y x x =-=， 显然当10x =，y 取得最大值4250．对于23013005750(1138,)y x x x x =-+-∈N ≤≤， 当22x =时，y 取得最大值8330．当23x =时，y=8280； 当24x =时，y=8170； 当21x =时，y=8320； 当20x =时，y=8250．综上，当票价{20,21,22,23}x ∈时，净收入8250y ≥． ……4分。