2020年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试
数学试卷
参考公式:锥体的体积公式13
V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 第一部分 选择题(每小题3分,共81分)
在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的.
1. 已知集合{}123
A =,,,{}345
B =,,,那么集合A B 等于
A. ∅ B .{}3 C .{}1,2,4,5
D .{}1,2,3,4,5 2. 函数()f x =是
A. (,1]
-∞ B. [0,)+∞ C. [1,)+∞ D. R
3. 如果指数函数()x f x a =(0a >,且1a ≠)的图象经过点(2,4),那么a 的值是 A. B .2 C .3 D .4
4. 将函数sin y x =的图象向右平移π3
个单位,所得图象对应的函数表达式是 A .πsin()3
y x =- B. πsin()3y x =+ C. πcos()3y x =- D. πcos()3
y x =+ 5. 在平行四边形ABCD 中,AB AD +等于
A .AC
B .BD
C .BC
D .CD
6. 在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴 重合,终边经过点(3,4)P ,那么sin α的值是
A .35
B .34
C .45
D .43
7. 已知向量1(1,)2
=-a ,(2,)m =b ,且a b ,那么实数m 的值是 A .1-
B .12-
C .12
D .1 8. 已知直线11:2l y x =
,2:2l y ax =+,且12l l ⊥,那么实数a 的值是 A. 2- B. 12- C. 12 D. 2
9. 如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ,BC ,CD ,1CC 所在的直线中,与直 线1BC 成异面直线的是
A. 直线AB
B. 直线BC
C. 直线CD
D. 直线1CC
10. 计算12216log 4+的结果是
A. 6
B. 7
C. 8
D. 10 11. 在庆祝中华人民共和国成立70周年之际,某学校为了解《我和我的祖国》、《我
爱你,中国》、《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度,在学生中开展问卷调查. 该校共有高中学生900人,其中高一年级学生330人,高二年级学生300人,高三年级学生270人. 现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容
量为90的样本,那么应抽取高一年级学生的人数为
A .30
B .31
C .32
D .33
12. 计算5πtan 4
的结果是 A. 1-
B.
C. D. 1
13. 某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈,决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中
随机选择两种颜色的毛线编织,那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概率是
A. 14
B. 1
3 C. 1
2 D. 3
4
14. 计算cos69cos24sin69sin24︒︒+︒︒的结果是
A. 12
B.
C. D. 1
15. 经过点(1,0),且斜率为2的直线的方程是
A. 220x y -+=
B. 220x y --=
C. 210x y -+=
D. 210x y --=
16. 已知向量a ,b 满足||1=a ,||2=b ,a 与b 夹角为30︒,那么⋅a b 等于 A. 1-
B.
C. D. 2
17. 如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1A A ⊥底面ABC ,AB AC ⊥,
12A A AB AC ===,那么三棱锥1A ABC -的体积是
A. 43
B. 8
3
C. 4
D. 8
18. 已知ABC △中,60A ∠=︒,45B ∠=︒
,AC =BC 等于
A. 1
B. C. 2 D. 4
19. 函数2()log 2f x x =-的零点的个数是
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
20. 已知两条直线m ,n 和平面α,那么下列命题中正确的是
A. 若m α⊥,n α⊥,则m n B .若m α,n α,则m n C .若m n ⊥,n α⊥,则m α⊥ D .若m n ,n α,则m α⊥
21. 如图,给出了偶函数()f x 的部分图象,那么(2)f 等于
A. 3-
B. 1-
C. 1
D. 3
22. 圆221x y +=的圆心到直线20x y -+=的距离是
A. 2
B. C. 2
D. 23. 已知直线l 经过(1,0)-
,两点,那么直线l 的倾斜角的大小是 A. 30︒ B. 45︒ C. 60︒ D. 90︒
24. 圆22(1)1x y +-=与圆22(1)1x y -+=的公共点的个数是
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
25. 已知函数,0,()1,0.x x f x x x
⎧⎪=⎨<⎪⎩≥ 如果()2f m =-,那么实数m 的值是 A. 8- B. 2- C. 12- D. 1
26. 如果函数2()2f x x ax =-在区间[0,)+∞上单调递增,那么实数a 的取值范围是 A. (,0]-∞ B. (1,0]- C. (0,1] D. [0,)+∞
27. 2007年以前,北京市先后组织实施了多个阶段的大气污染防治行动,针对燃
煤、工业、扬尘排放和机动车排放等采取了数百项治理措施. 2008年北京市首次探索区域联防联控,取得了良好效果.2013年北京市制定实施以防治细颗粒物为重点的《2013-2017年清洁空气行动计划》,治理成效显著.
上图是2000年至2018年可吸入颗粒物、细颗粒物、二氧化氮、二氧化硫等主要污染物年日均值的折线图.根据图中信息,下列结论中正确的是
A. 2013年到2018年,空气中可吸入颗粒物的年日均值逐年下降
B. 2013年到2018年,空气中细颗粒物的年日均值逐年下降
C. 2000年到2018年,空气中二氧化氮的年日均值都低于40微克/立方米
D. 2000年到2018年,空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是2008年
第二部分 解答题(共19分)
28.(本小题满分5分)
某同学解答一道三角函数题:“已知函数()cos f x x x =+.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]6π
-π上的最大值.”
该同学解答过程如下:
29. (本小题满分5分)
阅读下面题目及其证明过程,并回答问题. 平面PAB BC ⊥.
(Ⅰ)证明:在PBC △因为 E ,F 分别是所以 EF
PB . ⊄平面PAB 平面PAB (Ⅱ)证明:在三棱锥P -⊥底面ABC .
BC ⊥,且AB A =,
PB ,
BC .
问题1:在(Ⅰ)的证明过程中,证明的思路是先证___,再证___.
问题2:在(Ⅱ)的证明过程中,设置了三个空格. 请从下面给出的四个选项中,为每
一个空格选择一个正确的选项,以补全证明过程.
①PA BC ⊥; ②PA AC ⊥; ③BC ⊥平面PAB ; ④BC PB ⊥.
30. (本小题满分5分)
已知圆C 的圆心坐标为(2,0),且与y 轴相切,直线:4l y x =-+与圆C 交于M ,N 两点,求||MN .
(Ⅰ)指出上述解答过程中的错误之处;
(Ⅱ)写出正确的解答过程.
31. (本小题满分4分)
2019年1月11日下午,探月工程传来捷报,嫦娥四号任务取得圆满成功,在人类历史上首次实现了航天器在月球背面软着陆和巡视勘察,首次实现了月球背面与地球的测控通信,在月球背面留下了人类探月的第一行足迹,开启了人类探索宇宙奥秘的新篇章. 某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪,同时对航天知识产生了浓厚的兴趣. 通过查阅资料,他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时,单级火箭的最大速度V (单位: 千米/秒)满足ln m M V W M
+=,其中W (单位: 千米/秒)表示它的发动机的喷射速度,m (单位:吨)表示它装载的燃料质量,M (单位:吨)表示它自身的质量(不包括燃料质量).
(Ⅰ)某单级火箭自身的质量为50吨,发动机的喷射速度为3千米/秒. 当它装载100吨
燃料时,求该单级火箭的最大速度;(精确到0.1)
(Ⅱ)根据现在的科学技术水平,通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值
不超过9. 如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒,判断该单级火箭的最大速度能否超过7.9千米/秒,请说明理由.
(参考数据:无理数e 2.71828=⋅⋅⋅,ln3 1.10≈)。