二十一、效用数值应用举例
如果股票的期望收益率为10%，标准差为21.21%，国库 券的收益率为4%，尽管股票有6%的风险溢价，一个厌恶 风险的投资者会选择全部购买国库券的投资策略。
投 资 者 A=3 时 ， 股 票 效 用 值 为 ： 1 0 (0.005×3×21.212)=3.25%，比无风险报酬率稍低，在 这种情况下，投资者会放弃股票而选择国库券。 如果投资者的A为2，股票效用值为： 10-(0.005×2×21.212)=5.5%，高于无风险报酬率，投 资者就会接受这个期望收益，愿意投资于股票。
二十四、方差的分析（2）
萨缪尔森有两个重要结论： ①所有比方差更高的矩差的重要性远远小于期 望值与方差，即忽略高于方差的矩差不会影响 资产组合的选择。 ②方差与均值对投资者的效用同等重要。 得出这个结论的主要假设是股票收益分布具有 “紧凑性”。所谓紧凑性是说，如果投资者能 够及时调整，控制风险，资产组合收益率的分 布就是紧凑的。
另一方面，每一个投资者一旦确定其风险厌恶 程度，其投资效用的无差异曲线的斜率就确定 了，除了一条由市场提供的唯一风险溢价水平 决定的无差异曲线外，还一定可以有无数条平 行它的无差异曲线。
二十三、均值的分析
我们首先来看均值，投资的期望值或均值 并不是投资收益概率分布的唯一代表值， 其他的选择还有中值与众数。 中值(median)是所有收益按照高低排序时 处于正中位置的收益率，众数(mode)是最 大概率时的分布值或结果值，它代表了最 大的可能收益，但不是平均加权收益，也 不是按高低排序后处于正中的收益。 但投资者和理论界均认为均值最好，代表 性最强，实际使用也最广泛。
第五章 投资组合的选择
马柯维茨的资产组合理论
马柯维兹(Harry Markowitz)1952年在 Journal of Finance发表了 论文《资产组合的选择》，标志着现代投资理论发展的开端。
马克维茨1927年8月出生于芝加哥一个店主家庭，大学在芝大读经济 系。在研究生期间，他作为库普曼的助研，参加了计量经济学会的证 券市场研究工作。他的导师是芝大商学院院长《财务学杂志》主编凯 彻姆教授。凯要马克维茨去读威廉姆斯的《投资价值理论》一书。
–由于10万的效用值为11.51，比公平游戏的 11.37要大，
–风险厌恶型投资者不会进行这一投资。即不 投资于公平游戏。
二十、效用公式
这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计 算公式，资产组合的期望收益为E(r)，其收益 方差为2，其效用值为：
U=E(r)-0.005A2
其中A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度 不同的投资者可以有不同的指数值，A值越大， 即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。 在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用 越大；收益的方差越大，效用越小。
十八、风险厌恶与公平游戏
我们将风险溢价为零时的风险投资称为公 平游戏(fair game)，风险厌恶型的投资 者不会选择公平游戏或更糟的资产组合， 他们只愿意进行无风险投资或投机性投资。 当他们准备进行风险投资时，他们会要求 有相应的风险报酬，即要求获得相应的超 额收益或风险溢价。投资者为什么不接受 公平游戏呢？公平游戏看上去至少不坏， 因为它的期望收益为0，而不是为负。
E(RA)≥E(RB) 且σ2A<σ2B E(RA)> E(RB) 且σ2A≤σ2B
二十二、均值-方差பைடு நூலகம்则（2）
二十二、均值-方差准则（3）
因为它的期望收益大于或等于第四象限中的任 何资产组合，而它的标准差则等于或小于第四 象限中的任何资产组合，即资产组合P优于在它 东南方向的任何资产组合。相应地，对投资者 来说，所有第一象限的资产组合都比资产组合P 更受欢迎，因为其期望收益等于或大于资产组 合P，标准差等于或小于资产组合P，即资产组 合P的西北方向的资产组合更受欢迎。那么，通 过P点的投资者效用的无差异曲线 (indifference curve)一定位于第二和第三象 限，即一定是条通过P点的、跨越第二和第三象 限的东南方向的曲线。
所以，投资者对风险的厌恶程度十分关键。
二十二、均值-方差准则
–风险厌恶型的投资者承担风险是要报酬的， 这个风险报酬就是超额收益或风险溢价。
–因此对于风险厌恶型的投资者来说，存在着 选择资产的均值-方差准则：当满足下列(a)、 (b)条件中的任何一个时，投资者将选择资产 A作为投资对象：
–(a) –(b)
二十四、方差的分析
–均值本身是期望值的一阶矩差，方差是围绕 均值的二阶矩差。方差在描述风险时有一定 的局限性，如果两个资产组合的均值和方差 都相同，但收益率的概率分布不同时。
–一阶矩差代表收益水平；二阶矩差表示收益 的不确定性程度，并且所有偶数矩差(方差， M4，等)都表明有极端值的可能性，这些矩差 的值越大，不确定性越强；三阶矩差(包括其 他奇数矩差：M5，M7等)表示不确定性的方向， 即收益分布的不对称的情况。但是，矩差数 越大，其重要性越低。
二十二、均值-方差准则（4）
一方面，风险厌恶程度不同的投资者有不同的 无差异曲线，但它们都通过P点，因为，这是市 场提供的唯一的风险溢价水平决定的。一般风 险厌恶程度较高的投资者的投资效用无差异曲 线较为陡峭，因为风险的增加他要求很高的期 望收益的增长；而一般风险厌恶程度较低的投 资者的投资效用无差异曲线较为平缓。
十九、边际效用递减举例
假定有一公平游戏，投资10万，获利5万的概率为50%， 亏5万的概率为50%，因此，这一投资的期望收益为0。
当10万增到15万时，利用对数效用函数，效用从 log(100000)=11.51增加到log(150000)=11.92，效用增 加值为0.41，期望效用增加值为0.5×0.41=0.21。
如 果 由 1 0 万 降 到 5 万 ， 由 于 log(100000)log(50000)=11.51-10.82=0.69，期望效用的减少值为 0.5×0.69=0.35，它大于期望效用的增加值
十九、边际效用递减举例
这笔投资的期望效用为
–E[U(W)]=pU(W1)+(1+p)U(W2)=(1/2)log(50 000)+(1/2)log(150 000)=11.37