第十章
3. 在R 中定义二元运算，使得,a b R ∀∈有 *a b a b ab =++ 证明<R,*>构成独异点
解：（1）,,R a b R φ≠∀∈，存在唯一*a b a b ab R =++∈，所以<R,*>为代数系统。

(2) Z z y x ∈∀,,,有(*)**(*)x y z x y z xy yz xz xyz x y z =++++++=，所以结合律成立。

(3) 设存在幺元为e R ∈，对x R ∀∈，幺元应满足
e x e x ex x =++= x e x e xe x =++= 所以幺元为0R ∈。

所以<R,*>构成独异点
8. 设{}0,1,2,3G =,若4⨯为模4乘法，则4,⨯G 构成什么？
（2）零元为0，幺元为1，且运算表对称，结合律考虑4种情况
222,333,223,233,结合律成立。

（3）幺元为1
（4）零元为0，所以0的逆元不存在。

所以4,⨯G 构成半群，独异点，不能构成群。

10. 设{0,1}A x x R x =∈≠且，在A 上定义了六个函数如下：
11231
1
1
456(),(),()1()(1),()(1),()(1)
f x x f x x f x x
f x x f x x x f x x x ----===-=-=-=-
令F 为这6个函数构成的集合， 运算为函数合成运算 (1) 给出运算的运算表 (2) 验证,F <> 是一个群。

解：(1)
(2) a) 由运算表可得：运算封闭，且F 不是空集，所以,F <> 为一个代数系统。

b) 函数复合运算满足结合律。

c) 单位元为f1
d) f1-1=f1, f2-1=f2, f3-1=f3, f4-1=f5, f5-1=f4, f6-1
=f6, 所以,F <> 为群。