16
例题
例6 求下面带权图K4中最短哈密顿回路.
解 C1= a b c d a, C2= a b d c a, C3= a c b d a,
W(C1)=10 W(C2)=11 W(C3)=9
最短
17
11.3 二部图与匹配
定义11.3 设 G=<V,E>为一个无向图, 若能将 V分成 V1和V2 (V1V2=V, V1V2=), 使得 G 中的每条边的两个端点都是一 个属于V1, 另一个属于V2, 则称 G 为二部图 ( 或称二分图, 偶 图), 称V1和V2为互补顶点子集, 常将二部图G记为<V1,V2,E>. 又若G是简单二部图, V1中每个顶点均与V2中所有的顶点相邻， 则称G为完全二部图, 记为 Kr,s, 其中r=|V1|, s=|V2|.
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一个应用实例
例7 某课题组要从a, b, c, d, e 5人中派3人分别到上海、广州、 香港去开会. 已知a只想去上海，b只想去广州，c, d, e都表示 想去广州或香港. 问该课题组在满足个人要求的条件下，共 有几种派遣方案？ 解 令G=<V1,V2,E>，其中V1={s, g, x}，s, g, x分别表示上海、 广州和香港. V2={a, b, c, d, e}, E={(u,v) | uV1, vV2, v想去 u}. 每个V1到V2的完备匹配给 出一个派遣方案, 共有9种. 如a到上海, b到广州, c到香 港.
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t条件
例
前两个满足相异性条件, 第3个不满足 定理11.7 设二部图G=<V1,V2,E>, 如果存在t使得, V1中每个顶 点至少关联t条边, 而V2中每个顶点至多关联 t 条边, 则G 中存 在V1到V2的完备匹配.(t条件) 证 V1中任意k(1k|V1|)个顶点至少关联kt条边, 而V2中每个顶 点至多关联t条边, 这kt条边至少关联V2中k个顶点. G满足相异 性条件． 第2个图不满足t条件, 但有完备匹配.
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11.4 平面图
定义11.6 如果能将无向图G画在平面上使得除顶点处外无边相 交, 则称G是可平面图, 简称平面图. 画出的无边相交的图称为 G的平面嵌入. 无平面嵌入的图称为非平面图． 例
(1)
(2)
(3)
(4)
(2)是(1) 的平面嵌入，(4)是(3)的平面嵌入.
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平面图的性质
K5, K3,3都是非平面图（定理11.13） 平行边与环不影响平面性. 定理11.8 平面图的子图都是平面图, 非平面图的母图都是非 平面图． 例如, 所有度数不超过4的简单图都是平面图. 当|V1|=1和2时二部图G=<V1,V2,E>是平面图. Kn(n5)和Ks,t(s,t3)都是非平面图.
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货郎问题
货郎问题: 有n个城市, 给定城市之间道路的长度(长度可以为 , 对应这两个城市之间无交通线). 货郎从某个城市出发, 要 经过每个城市一次且仅一次, 最后回到出发的城市, 问如何走 才能使他走的路线最短? 图论方法描述如下: 设G=<V,E,W>为一个n阶完全带权图Kn, 各边的权非负, 且可能为. 求G中的一条最短的哈密顿回路. 不计出发点和方向, Kn(n3)中有(n1)!/2 条不同的哈密顿回 路
第十一章 几种特殊的图
主要内容 欧拉图 哈密顿图 二部图与匹配 平面图 着色
1
11.1 欧拉图
历史背景：哥尼斯堡七桥问题
2
欧拉图定义
定义11.1 图(无向图或有向图)中所有边恰好通过一次且经过 所有顶点的通路称为欧拉通路. 图中所有边恰好通过一次且 经过所有顶点的回路称为欧拉回路．具有欧拉回路的图称为 欧拉图. 具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图． 说明： 规定平凡图为欧拉图. 环不影响图的欧拉性.
例题
例3 设G为n阶无向连通简单图，若G中有割点或桥，则G不 是哈密顿图. 证 设v为割点，则 p(Gv) 2>|{v}|=1. K2有桥，它显然不是哈密顿图. 除K2外，其他有桥的连 通图均有割点.
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无向哈密顿图的一个充分条件
定理11.3 设G是n阶无向简单图, 若对于任意不相邻的顶点 vi,vj, 均有 d(vi)+d(vj) n1 () 则G 中存在哈密顿通路. 推论 设G为n (n3) 阶无向简单图, 若对于G中任意两个不相 邻的顶点vi,vj, 均有 d(vi)+d(vj) n （） 则G中存在哈密顿回路.
哈密顿图
哈密顿图
半哈密顿图
不是
10
无向哈密顿图的一个必要条件
定理11.2 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1| 证 设C为G中一条哈密顿回路 (1) p(CV1) |V1| (2) p(GV1) p(CV1) |V1| （因为CG） 推论 设无向图G=<V,E>是半哈密顿图，对于任意的V1V 且V1均有 p(GV1) |V1|+1 证 设 为从u到v的哈密顿通路，令G = G(u,v)，则G为 哈密顿图. 于是 p(GV1) = p(GV1(u,v)) p(GV1)+1 |V1|+1
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判断是否为哈密顿图
判断是否为(半)哈密顿图至今还是一个难题. (1) 观察出一条哈密顿回路或哈密顿通路. (2) 证明满足充分条件. (3) 证明不满足必要条件. 例4 证明右图(周游世界问题)是哈密顿图 证 abcdefghijklmnopqrsta 是一条哈密顿回路. 注意，此图不满足定理11.3推论的条件. 例5 完全图Kn (n3)是哈密顿图. 证 任何两个顶点u,v，d(u)+d(v) = 2(n1) n
3
欧拉图实例
欧拉图
半欧拉图
不是
欧拉图
半欧拉图
不是
4
欧拉图的判别法
定理11.1 (1) 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通的且没有奇 度顶点． (2) 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的且恰有两个奇度 顶点． (3) 有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通的且每个顶点的入 度等于出度． (4) 有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向连通的且恰有两个 奇度顶点, 其中一个顶点的入度比出度大1, 另一个顶点出度 比入度大1, 其余顶点的入度等于出度． 例1 设G是非平凡的欧拉图，则(G)2. 证 只需证明G的任意一条边e都不是桥. 设C是一条欧拉回路, e在C上，因而Ge仍是连通的，故e不是桥．
定理11.5 M为G的最大匹配G中不含M的可增广的交错路径.
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Hall定理
定理11.6 (Hall定理) 设二部图G=<V1,V2,E>, 其中|V1||V2|, 则 G中存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任意k(1k|V1|) 个顶点至少与V2中的k个顶点相邻.(相异性条件) 证 必要性显然. 证充分性. 设M为G的最大匹配, 若M不是完备 的, 则存在非饱和点vxV1. 于是, 存在eE1=EM与vx关联, 且 V2中与vx相邻的顶点都是饱和点. 考虑从vx出发的尽可能长的 所有交错路径, 这些交错路径都不是可增广的, 因此每条路径 的另一个端点一定是饱和点, 从而全在V1中. 令 S={v | vV1且v在从vx出发的交错路径上} T={v | vV2且v在从vx出发的交错路径上} 除vx外, S和T中的顶点都是饱和点, 且由匹配边给出两者之间 的一一对应, 因而|S|=|T|+1. 这说明V1中有|T|+1个顶点只与V2 中|T|个顶点相邻, 与相异性条件矛盾.
6
实例
一笔画出一条欧拉回路
7
实例
一笔画出一条欧拉回路
8
11.2 哈密顿图
历史背景：哈密顿周游世界问题
(1)
(2)
9
哈密顿图与半哈密顿图
定义11.2 经过图中所有顶点一次且仅一次的通路称作哈密顿 通路. 经过图中所有顶点一次且仅一次的回路称作哈密顿回 路. 具有哈密顿回路的图称作哈密顿图. 具有哈密顿通路且无 哈密顿回路的图称作半哈密顿图. 规定: 平凡图是哈密顿图. 例
11
例题
例2 判断下面的图是不是哈密顿图, 是不是半哈密顿图.
解 (a)取V1={a,f}, p(GV1)=|{b,c,d,e}|=4>|V1|=2, 不是哈密顿图， 也不是半哈密顿图． (b)取V1={a,g,h,i,c}, p(GV1)=| {b,e,f,j,k,d}|=6>|V1|=5, 不是哈密 顿图. 而baegjckhfid是一条哈密顿通路, 是半哈密顿图． (c) abcdgihjefa是一条哈密顿回路，是哈密顿图． 12
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证明
假若存在vi,vjV1相邻, 记e=(vi,vj), 设v0到vi,vj的最短路径分别 为i, j, 由i,j和e构成一条长度为奇数的回路. 这条回路可 能是一条复杂回路, 可以分解成若干由i,j共有的边构成的 回路(实际上是每条边重复一次的路径)和由i,j不共有的边 及e构成的圈. 由i,j共有的边构成的回路的长度为偶数, 故在 由i,j不共有的边(可以还包括e)构成的圈中一定有奇圈, 这 与已知条件矛盾. 得证V1中任意两顶点不相邻. 由对称性, V2 中也不存在相邻的顶点, 得证G为二部图．
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可增广的交错路径
例 u1 u2 u3 u4 u1 u2 u3 u4
v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4 左图, 饱和点:u1,u3,u4,v1,v2,v3; 非饱和点:u2,v4; 可增广的交错路径 : u2v3u4v2u1v4. 由 得到多一条边的匹配. 设M为G的一个匹配, 是关于M的可增广的交错路径, 则 M =ME( )=(ME( ))(ME( )) 是比M多一条边的匹配.
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实例
例
K2的判别法
定理11.4 无向图G=<V1,V2,E>是二部图当且仅当G中无奇圈 . 证 必要性. 若G中无圈, 结论成立. 若G中有圈, 设G中的一个 圈C=v1v2vlv1, l≥2. 不妨设v1V1, v1,v2,,vl 依次交替属于V1, V2且vlV2, 因而l为偶数. 得证C为偶圈． 充分性. 不妨设G为连通图, 否则可对每个连通分支进行讨论, 孤立点可根据需要分属V1和V2. 设v0为G中任意一个顶点, 令 V1={v | vV(G)d(v0,v)为偶数} V2={v | vV(G)d(v0,v)为奇数} d(v0,v)是v0到v的最短路径的边数(每条边的权为1). V1， V2, V1V2=, V1V2=V(G). 要证V1中任意两点不相邻．