高等计算流体力学讲义（2）第二章 可压缩流动的数值方法§1. Euler 方程的基本理论 0 概述在计算流体力学中，传统上，针对可压缩Navier －Stokes 方程的无粘部分和粘性部分分别构造数值方法。

其中最为困难和复杂的是无粘部分的离散方法；而粘性项的离散相对简单，一般采用中心差分离散。

所以，本章主要研究无粘的Euler 方程的解法。

在推广到Navier －Stokes 方程时，只需在Euler 方程的基础上，加上粘性项的离散即可。

Euler 方程是一种典型的非线性守恒系统。

下面我们将讨论一般的非线性守恒系统以及Euler 方程的一些数学理论，作为研究数值方法的基础。

1非线性守恒系统和Euler 方程一维一阶非线性守恒系统(守恒律)可写为下列一般形式=∂∂+∂∂xF tU ，0,>∈t R x（1）其中U 称为守恒变量，是有m 个分量的列向量，即T m u u u U ),...,(21=。

T m f f f F ),...,(21=称为通量函数，是U 的充分光滑的函数，且满足归零条件，即：0)(lim=→U F U即通量是对守恒变量的输运，守恒变量为零时，通量也为零。

守恒律的物理意义设U 的初始值为：0(,0)(),U x U x x =∈R 。

如果0()U x 在x ∈R 中有紧支集（即0U 在有限区域以外恒为零），则0(,)()U x t dx U x dx =⎰⎰RR。

即此时虽然(,)U x t 的分布可以随时间变化，但其总量保持守恒。

多维守恒律可以写为)(=++∙∇+∂∂k H j G i F tU（2）守恒律的空间导数项可以写为散度形式。

守恒系统（1）可以展开成所谓拟线性形式)(=∂∂+∂∂xU U A tU （3）A 是m m ⨯矩阵，称为系数矩阵或Jacobi 矩阵，其具体形式为111122221212.........m m m m mm f f f u u u f f f u u u A f f f u u u ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦（4），容易验证：F U Axx∂∂=∂∂，通常也记F A U∂=∂。

流体力学无粘流动的Euler 方程是典型的非线性守恒律，可以写为=∂∂+∂∂xF tU （5）其中：TTuH p u u F E u U ),,(),,(2ρρρρρρ+== （6）这里ρ，u ，p ，E ，H 分别为密度、速度、压力、总能和总焓。

对于完全气体，221u e E +=，221uh H +=，ργ)1(-=p e 为内能，ρpe h +=为焓。

γ为比热比，对于空气，γ=1.4。

把（5）式写成拟线性形式，其Jacobi 矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=u uE uE u uuA γγγγγγγγ232213)1(1)3(2)3(010（7）守恒型方程和非守恒型方程。

原始变量对应的非守恒型Euler 方程()0t x W A W W +=20()01/0u W u A W up au ρρρρ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥==⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦为什么要研究守恒型方程？使用非守恒型方程计算有激波间断的流动，激波位置或激波速度可能不对。

2．双曲型方程的定义令Jacobi 矩阵的特征值为mkk ,,2,1,)( =λ，则如果A 的所有特征值均为实数且A 可以对角化（即有m 个线性无关的特征向量），则（3）式（以及（1）式）称为双曲系统。

如果A 的所有特征值为互异实数，则（3）式称为严格双曲系统。

矩阵A 的特征值λ，由下式定义：0=-I A λ（8）显然，对于m m ⨯阶矩阵，（8）式有m 个根mkk ,,2,1,)( =λ。

对于一维Euler 方程，有：au u a u +==-=)3()2()1(λλλ （9）其中ργp a =为音速。

显然Euler 方程为双曲型方程。

双曲型系统有m 个独立的特征向量，设m l l l ,,21为左特征向量，则mk l A l k k k ,2,1,)(==λ（10）左特征向量为行向量。

设左特征向量组成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ml l lL 21 （11）则：L LA Λ= （12）其中：(1)(2)()(,,,)m diag λλλΛ= (13)设m r r r ,,21为右特征向量，则kk k r r A )(λ= （14）右特征向量为列向量。

设右特征向量组成的矩阵为 ()mr r r R,,,21 = （15）则：Λ=R AR （16） 由（12）式，（16）式分别有1-Λ=LL A（17） 1-Λ=RR A（18） 矩阵A 与一个对角阵相似，我们称A 可以对角化。

显然1-=LR 。

（19）3．特征线与Riemann 不变量以左特征向量左乘（3）式=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂x U A t U l k （20）考虑到 ()k k k l A lλ=，有：()()0=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂x U tU lk k λ （21）我们称由()()()U dtt dx k λ= （22）定义的一族曲线k Γ为（3）式的特征线。

沿特征线kkD U UU dx D tt x dt ΓΓ∂∂⎛⎫=+ ⎪∂∂⎝⎭显然在特征线上：=ΓkDtDUl k，mk,,2,1 = （23）特征线的意义：对于两个自变量的双曲系统，通过引入特征线，可把偏微分方程组（3）式化为特征线上的常微分方程组（23）。

（23）式称为特征相容关系。

具体到一维Euler 方程，左特征向量为：2122222232(1),,12211(1)2,2,221(1),,12211u ua al u a a l u u a u ua a l u aγγγγγγγγ⎡⎤-=+--⎢⎥--⎣⎦⎡⎤-=--⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-=--+⎢⎥--⎣⎦特征相容关系为0=±DtDu aDtDp ρ，au dtdx ±= （24）=DtDS ，u dtdx = （25）其中γρpC Sv ln=为熵。

对于均熵流动，（24）式可以积分出：constR=±，沿au dtdx ±=其中au R12-±=±γ。

此时（25）式退化为：S const =4. 广义解(弱解)考虑 Bergers 方程0,0 t x u uu x R t +=∈>(26)0(,0)()u x u x =考虑如下初始条件,010()10101x u x xx x ≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩当存在连续解时,0(,)(,0)()u x t u x ut u x ut =-=-由此可知11(,)1101x t xu x t t x t x ≤⎧⎪-⎪=<≤⎨-⎪>⎪⎩ 参见图1即1→t 时11,1(,)|0,1t x u x t x →<⎧=⎨>⎩ 可见,对于非线性问题,即使初始值是连续的,其解仍然可能出现间断。

对于Euler 方程，其解的结构中可能出现激波或接触间断，此时，不存在古典意义下的解（古典解要求解是充分光滑的）。

为此，必须拓展双曲型守恒律解的概念。

定义（广义解或弱解）：设U(x ,t )是分片连续可微的函数，在≥t 0的半平面，如果对于与U(x ,t )的间断线只有有限个交点的任意分段光滑的闭曲线Γ，都有:()0F U dt U dx Γ-=⎰ ， (27)则称U(x ,t )为方程0=∂∂+∂∂xF tU 在初值U(x ,0)=U 0(x),∞<<∞-x 下的广义解或弱解。

如果已知U(x ,t )是光滑的，设Γ围成的区域为Ω，则由(27)式利用Green 公式知()0U F dxdt Fdt U dx txΩΓ∂∂+=-=∂∂⎰⎰⎰ (28)由于闭曲线可以在光滑区内任取，由(28)式可得：0=∂∂+∂∂xF tU（29）即，在光滑区，弱解就是古典解。

假定),(t x U 是由一条间断线()t X X =分隔开的分片连续可微函数，取如图所示的闭曲线Γ在Γ上应用（27）式，有()()()()()⎰⎰-++=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+εεεεε)()(2)(2221),(,,t x t x t t t x x dx t x U dt dt dx t t x U dt t t x U F()()()()()1121()1()(),,(,)0t x t t x t x x t dxF U x t t dt U x t t dt U x t dx dt εεεεε+-=-⎡⎤+---+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰令0→ε，则上式可简化为：()()()()()()()()()()⎰=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--+-+==21,0,0,0,0)()(t t t x x t x x dt dt dxt t x U t t x U F dt dxt t x U t t x U F 令 ()()t t x U U,0+=+()()t t x U U,0-=-)(t x x dtdx D ==并考虑到t 1,t 2可以任意取值，有：[][]F D U =(30)其中[]()()-+-=U F UF F ，[]-+-=UUU 。

上述关系（30）式称为Rankine-Hogoniot 关系。

综上所述，双曲型守恒律的弱解()t x U ,是被有限个间断线分开的分片光滑函数。

在光滑区，()t x U ,满足微分方程（29）式，在间断线的两侧，()t x U ,满足R-H 关系。

广义解是不唯一的。

为了说明这一问题，我们举一个例子：考虑Burgers 方程在初值为010()1x u x x -≤⎧=⎨>⎩时的解。

此时，Bergers 方程为2(/2)0t x u u +=，初值在0x =处有一个间断。

0x =处的Rankine-Hogoniot 条件为：220000(/2)|(/2)|(||)x x x x u u D u u =+=-=+=--=-由上式知0D =。

所以，0(,)()u x t u x =在间断处满足Rankine-Hogoniot 条件，在其他地方满足微分方程，即0(,)()u x t u x =是Bergers 方程的一个广义解。

另外，容易验证1(,)/1x t u x t x t t x t x t -≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩也是Bergers 方程的一个广义解。

所以广义解一般不唯一，但是对于由明确物理意义的守恒律，其中只有一个解是有物理意义的，我们称之为物理解。

为了得到我们关心的物理解，广义解除了必须满足（27）式外，还必须满足附加的条件，这个条件因为与热力学第二定律所起的作用相同，被称为熵条件。