上式称伯努利方程，或伯努利积分。C 称伯努利常数，C 沿同一条流 线或涡线为常数。当无穷远均匀来流绕流物体时，C对每一根流线都 相同，此时伯努利方程三项和在全流场为常数。
2． 势流伯努力方程
dp u u u G 设理想流体，正压，外力有势，可推得， u t 2 u ( ) ( ) 再设势流, 0 u
考虑到G是外力场势能，它只是空间位置的函数，不随时间改变， u G Dt D u u DG ( ) u p Dt 2 Dt 对理想流体且无热传导时以焓表示的能量方程可写为，

DG

上两式相加,
Dh Dp Dt Dt
D u u Dp DG (h ) u p Dt 2 Dt Dt
可以看出： 1）无旋流动必是均熵的，即在流场 s = 常数； 2）非均熵流动必是有旋流动； 3) 均熵流动不一定是无旋的,此时可能 u 0, 0, u //
u
对于平面流动和轴对称流动， u
， 此 时 u 垂 直 于 流 线 ，
始时刻在某部分流体内无旋 ,则以前或以后任一时刻 这部分流体皆无旋;反之,若初始时刻该部分流体有旋, 则以前或以后的任何时刻这部分流体皆为有旋。
理想不可压缩流体在重力场作用下的流动
(1) 均匀来流定常不脱体绕流； (2)物体从静止状态开始运动。
满足理想，正压，质量力有势： 第1种情况下, 流体质点来自无穷远处，无穷远处无旋, 所以整个流场无旋； 第2种情况下, 初始时刻, 静止状态的流体无旋, 所以任何时刻流体无旋。
D u u 1 p (h G) Dt 2 t
从能量方程出发推导的伯努利方程
设定常流，
D u u (h G) 0 Dt 2
上式表示一个流体质点在它的运动轨迹的所有点上总能量保持不变，
u u h G C 2 Nhomakorabea u u e G C 2 p
以热力学量 s 和 h 来置换兰姆方程中的 p 和ρ ，
u Ts h0 u u 式中 h0 h ,为滞止焓。 2

p

T s h
克罗柯方程反映了定常流中总能和熵的变化与涡量之间的相容关系。请注意 克罗柯方程成立的条件：理想流体，定常流动，质量力作用可略去不计。
涡量场的散度为0, 0 , 由此得出在每一瞬时通过同一涡管中任意截面
的涡通量处处相等, 即涡管强度在空间上守恒, 以上结论对任意流体都是正确 的。 当满足开尔文定理成立条件时, 涡管强度不但具有空间上的守恒性, 而且具有 时间上的守恒性。
讨论3
§3.1 开尓文定理
涡旋不生不灭
若流体理想,正压,且外力有势,如果初
3.2 伯努利方程
1.沿流线或涡线成立的伯努利方程 设理想流体， u (u )u p f t u u (u )u ( ) u ( u ) 2 u u u p ( ) u ( u ) f t 2

dp 1 u u G u 2
上式两边同时点乘
dl dl ， 平行于 u
或

dp u 2 dp u 2 dl G 0 d G 0 2 2 dp u 2 2 G C
第 三 章 特殊方程
3.1 开尓文定理
欧拉方程
u 理想流体, (u )u p f t f G 设质量力有势且为单值函数, u p (u )u G 代入欧拉方程得 t
u j
1 p G uk t xk x j x j
克罗柯方程把流场的涡量和流体的熵联系起来，它在空气动力学中占有重要地位。 飞行器在静止空气中运动，当物体飞行速度小于某个临界流速时，整个流场中物 理量是连续分布的。而当物体飞行速度超过临界速度后，流场中就可能出现间断 面，通过这些间断面物理量有突跃变化。对于亚临界流动的情况，如果流体是理 想的，流场是正压的且质量力有势，则根据开尔文定理，在物体运动过程中，周 围流场始终是无旋的。因为在物体开始运动的初始时刻流场是静止的，从而是无 旋的。在超临界流动情况下，流场中出现了间断面。在间断面上，开尔文定理不 再适用，而克罗柯定理却可以回答流场是否有旋的问题。 物体在原静止空气中作超音速运动时，头部激波前的流场是是均匀的，而在该区 域h0为常数.在绝热运动的假设下，完全气体质点通过间断面时，h0保持不变。根 据伯努利方程在间断面后的每一条流线上，h0仍将保持不变。因此在整个流场中， h0等于同一常数 ,▽h0 = 0 ,为均能流动。
在定常流条件下，流场迹线和流线合二为一，因此，上式也可认为总能量沿 同一条流线保持不变，在满足理想流体，无热传导，外力有势，定常流条件 下，单位质量流体的总能量沿同一条流线保持不变。当流体内部处处无粘性 无热传导时，可认为流动是等熵的，所以上述定理也可叙述为当流动为等熵， 定常且外力有势时，总能量沿流线不变。
式中dф表示对空间的全微分
dp dp p dp dr d r ( p) ( p)
dp p dr r


因为δr是任选的，所以对正压流体流场中任一点有
p


dp

开尓文定理
D Du dr Dt C (t ) Dt
设在封闭的物质线C(t) 上张一曲面A(t),则由STOKES 定理,

A(t )

ndA
D Dt
A( t )

ndA 0
对于正压 , 体积力单值有势的理想流体流动 , 沿任意封闭的物质周线上的速度 环量和通过任一物质面的涡通量在运动过程中守恒.
讨论1
§3.1 开尓文定理
伯努利方程的特殊形式
•完全气体，可压缩等熵流
h e
p



p
1
h c pT
伯努利方程可化为
RT R cp p p c p cV 1
cp
1 p (u u ) G 0 2 1
伯努利方程的特殊形式
•不可压缩流体

dp

G C 2
上式中C在全流场为常数,且不随时间变化。请注意伯努利积分中的C只是 沿同一条流线或涡线为常数
3．从能量方程出发推导的伯努利方程
设理想流体、外力有势，由欧拉方程
Du u u p u G Dt
Du p G Dt
以上结论是纯运动学性质的,因此对任何流体都成立
正压流体
§3.1 开尓文定理
设流体的密度仅是压强的函数 ( p) 场论公式 dr (dxi dyj dzk ) ( )i ( ) j ( )k y z x ( )dx ( )dy ( )dz d x y z dr d
3.3 克罗柯方程
热力学关系式
1 1 de dq pd ( ) Tds pd ( )
热力学第一定理,
h e
p




p 1 dh d ( ) Tds pd ( )


dp

p
Tds dh


T s h
克罗柯方程
u u u p 对理想流体有兰姆方程成立， ( ) u f t 2 p u u u ( ) 设定常流动，且忽略质量力的作用， 2
C (t )
因为 u u (r , t ) 为单值函数，
Dui D Du dr dxi Dt C (t ) Dt Dt C (t )
C (t )
u du
u2 d( ) 0 2 C (t )
沿一条确定的流体质点组成的物质周线的速度环量的随体导数等于该周线上 的加速度的环量．
§3.1 开尓文定理
设理想流体,质量力有势且为单值函数, Du p p D G G dr Dt Dt C (t ) 设正压流体
p


dp

dp dp D G dr d G 0 Dt C (t ) C (t )
t t t
dp G 0 2 t
dp G f (t ) t 2
上式称势流伯努利方程，也称柯西—拉格朗日积分。f (t) 是时间的函数， 在同一瞬时，在全流场它是同一个常数。 如果流动是定常的，则
u j
沿物质周线的速度环量的随体导数
u dr
§3.1 开尓文定理
设由确定的流体质点组成的封闭物质线C(t),其位置和形状随流动而变化.

D D Du Ddr Du u dr ( ) dr u dr u du Dt Dt C (t ) Dt C (t ) Dt Dt C (t ) dr Dr 上式推导中用到, D( ) d ( ) du Dt Dt
由 u ， 也应垂直于流线。 s T s u T s 可写成标量形式，
U T (
ds )0 dn
式中，U，Ω 分别是速度和涡量的模，n 表示垂直于流线的法向坐标。此时 ds ds 如Ω = 0 ，则 ,s为常数；如s 为常数，则 ,于是 Ω = 0 。 0 0 dn dn 即如流动无旋，则必是均熵的；如流动均熵，则必是无旋的。