2R dr
R 4 0r
E
ln 2 4 0
U DE U AB（对称性）
U BCD
dq qBCD R 4 0 R 4 0 R 4 0 R 40
UO 2U AB U BCD ( 2 ln 2 1) 40
例6：两个同心球面，半径分别为R和4R，分别均匀带 有正电荷Q和2Q，球面间充满相对电容率为εr=2的均匀 电介质。⑴以无限远处为电势零点，求离球心分别为2R 和8R点的电势和电势差U2-U8；⑵以小球表面为电势零 点，电势差U2-U8是否改变？
Y
Ey 0
E Ex
Rφ
2 dE cos( )
dE
dq
X
2 2
cos
0
cos
40 R0cRo2s d
0
0
cos2 d 0
4 0 R2
2 0 R 0
40 R
例4：两个均匀带电同心球面的半径分别为R1=0.10m， R2=0.30m，内球表面带电量为q1=1.0×10-8C，外球表 面带电量为q2=1.5×10-8C。求离球心分别为r1=0.05m、 r2=0.20m、r3=0.50m处的电场强度。
r1 △S P
Q r2
Q点：
E dS＝
q内
S2
0
E dS＝
q内
S1
0
2E1
S＝
S 0
2r1
E1＝
r1 0
2E2
S＝
S
0
d
E2＝
d 2 0
例5：一根有限长的均匀带电细棒弯成如图所示的形状，
电荷线密度为＋ λ ，图中所标量为已知，求圆心处的电
势。
Rdr B A
r
C +λ R OD
R
解： U AB dU AB
解： 由高斯定理
R2
q1 r R1 q2
r R1 E1 0
R1 r R2
E2
q1 4 0r 2
2250V/m
r R3
E3
q1 q2 4 0r 2
90V/m
例4：一块厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密 度为ρ，求图中P、Q两点场强的大小。(r1<d/2，r2>d/2)
d
解： P点：
十三 静电场的能量
（1）电容器的电能
1 Q2
W
2C
1 CU 2 1 Qu
2
2
（2）静电场的能量密度
we
0r 2
E 2 We
V wedV
例 1：正电荷分布在长Ｌ的直棒上，棒上距左端点为x处 的点的电荷线密度为λ=kx，求图中P点的电场强度。
A x dx B
解 ：在离开A为x的地方 P dE 取长为dx的一段
静电场中某点的电势在数值上等于把单位正电荷从该点移
到电势零点的过程中电场力所做的功。
b
（3）电势差： Ua Ub
E dl
a
静电场中a、b两点的电势差，等于单位正电荷在电场中从 a点经过任意路径到达b点时电场力所做的功。
（4）电势叠加原理 （标量叠加） U Ui
对点电荷激发的电场:
U
静电场习题课
一 电荷守恒定律
在孤立系统中，电荷可以从一 个物体传向另一个物体，但正 负电荷的代数和保持不变。
二 库仑定律
F
Ke
q1q2 r2
三电场强度
（1）定义
E
F
q0
（2）叠加原理 E Ei
对点电荷激发的电场:
E
qi 4 0ri 2
ri 0
对连续带电体:
dq
dE
4 0r 2
r0
E dE
七 环流定理
E dl 0
静电场的环流定理：在静电场中,电场强度沿着闭合路径 的积分值总是为零。
八电势能 电势 电势差
（1）电势能：
Wa
(0) a q0 E dl
电量为q0的点电荷在a点所具有的电势能，等于把q0从a点 移到电势能零点的过程中电场力所做的功。
（2）电势：
(0)
Ua a E dl
（2）电极化强度
P
pe
V
pe
ql (电偶极矩）
定义：电位移矢量
D 0E P
在各向同性的均匀介质中，有
D 0r E E
十二电容
（1）定义式
Q C
UA UB
（2）几种电容器的电容 平行板电容器：
C S d
圆柱形电容器：
2 L C
ln R外 R内
球形电容器：
C Q ( 1 1 ) 4 R内 R外
8R
4R E外 dr
4R Q
8R 3Q
dr
dr
2R 8 Q
0 r 1
2
4R
4R
3Q
4
0 r 1
2 8
R
( )
( )
8 0 r 2R 4 0 r 4R
Q ( 1 1 ) 3Q ( 1 1 ) Q
8 0 2R 4R 4 0 4R 8R 8 0 R
⑵以小球表面为电势零点，电势差U2-U8不改变。
电势的高低与零点的选取有关，但电势差的大小与零点 的选取无关。
解： 由介质中的高斯定理
4R
SD dS q
εr r R Q
D 4r 2 Q
2Q
Q D内 4r 2
D
Q
E内 0 r
8 0r 2
D
Q
4R
E内
0r
8 0r 2
εr
r
R Q
2Q
同理：D外
3Q 4r 2
D 3Q E外 0 4 0r 2
U2 U8
4R 2R E内 dr
4 0 R2
EX dE cos( )
R
θX
dE cos
dE
由对称性：
2
cos
d
0
4
0
R
4 0 R
Ey
4 0 R
例3：一个半径为R的带电细圆环，其电荷线密度为λ= λ0cosφ，式中λ0为一常数， φ为半径R与X轴所成的夹角， 如图所示，求环心O处的电场强度。
解：因为电荷分布X轴对称，故
（a）处于静电平衡的导体是等势体，其表面是等势面。
（b）导体表面曲率半径越小的地方，面电荷密度越大。
（c）导体表面外附近处的场强 （3）静电屏蔽
E表面
0
（a）空腔导体内物体不受腔外电场的影响。
（b）接地空腔导体外物体不受腔内电场的影响。
十一 电介质
（1）极化机理：
无极分子的极化是位移极化，有极分子的极化主要 是取向极化，但也有位移极化。
五 电通量:
e E dS
六高斯定理
（1）真空中
E dS＝
q内
S
0
高斯定理：通过电场中任意一个闭合曲面的电通量，等于 该曲面内所有电荷的代数和除以真空的电容率ε0。
（2）介质中 SD dS q
有电介质时的高斯定理：通过电介质中任意闭合曲面的 电位移通量，等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。
kxdx
L
L
dE
4 0 (2L x)2
k L xdx
E
dE 4 0
0 (2L x)2
k 4 0
[ln( 2L
x)
2L 2L
x ]0L
k (1 ln 2)
4 0
例2： 将一根绝缘均匀带电细棒弯成半径为R的四分之一 圆环，电荷线密度为＋λ，求圆心处的电场强度。
解： dE Rd
Y
qi
4 0ri
对连续带电体:
dU dq
4 0 r
U dU
（5）静电场力的功
b
Aab a q0 E dl q0 (Ua Ub )
九、电势梯度与电场强度的关系
E
(
U
i
U
j
U
k)
x y z
十导体
（1） 导体静电平衡的条件
(a)E内＝E外＋E附加＝0
(b)E表面 表面
（2）推论பைடு நூலகம்