第5章 弹性静力学小位移变形理论的变分原理对连续体来说，其数学上的处理方法是利用给定的边界条件下的微分方程（或偏微分方程），并在一定的边界条件下求得其解，这种解析方法，实际做起来往往遇到很大的困难，使许多工程实际问题的计算模型很难建立，满足不了实际需要。

自从五十年代直刚法问世以来，利用离散化的方法，将一个连续体划分为有限数量及具有一定几何形状的单元体，即有限单元，再按照一定的过程进行计算，这就使得过去许多工程计算感到困难的问题得到解决，这种方法不受结构特殊几何形状的限制，因此，它的适应范围是相当广泛的。

有限元素法的提出和应用，是工程分析方法上的一次重大的变革，随着理论探讨上的深入及计算机性能的不断提高，使得解的精确性不断地得到改进，以至使得有限元素法成为当前计算领域方面的一个强有力的工具，无论对结构问题（如静力学、动力学）、非结构问题（如流体力学、光学、电磁学）以及许多边缘学科等都得到广泛的应用。

有限元素法的解题过程和步骤在一般的有关有限元法教课书和著作中均有详细讨论，本章不再赘述。

变分原理是有限元素法的基础，要很好地理解有限元素法，则应该对能量变分原理有一个较系统地了解。

本章的目的是尽可能地对这些能量变分原理作系统性的介绍，从一般常用的最小位能原理和最小余能原理，引深到引用拉格朗日乘子法（Lagrange Multiple Method ）的完全及不完全广义变分原理和为分区集合体的分区（Sub-region ）广义变分原理，这将涉及到以混合（Mixed ）模型和杂交（Hybrid ）模型为基础的变分原理。

在此基础上，针对不同变分原理，进一步说明了有限元素法中的元素的刚度特性和推导元素刚度矩阵的一般过程及表达显式，以及变分原理在结构分析中的若干应用实例，使读者能比较清晰地了解各类变分原理与建立有限元模型之间的关系。

§5.1 小位移弹性理论的最小位能原理与最小余能原理设在卡氏直角坐标系中，坐标参数为)3,2,1(=i x i ，体积为V 的弹性体中任意一点的位移参数为)3,2,1(=i u i 、应力分量为ij σ以及应变分量为)3,2,1,(=εj i ij 。

由线弹性力学理论，我们可以得到如下的用于描述一个弹性静力学小位移变形问题的基本方程式。

（1）力的平衡方程0,=+σi j ij F （在V 内） （5-1） 式中i F 表示体力，j ij ,σ表示应力分量ij σ对坐标分量j x 的偏导数（以下相同）。

（2）应变位移关系式（几何关系）)(21,,i j j i ij u u +=ε （在V 内） （5-2） （3）应力应变关系式（物理关系） kl ijkl ij a ε=σ （5-3）kl ijkl ij b σ=ε （5-3’）式中ijkl a 为弹性模量系数，ijkl b 为劲度系数，ijkl a 和ijkl b 都具有对称性。

（4）在弹性体的边界上，表面S 可划分为两部分：外力已知的边界σS 及位移为已知的边界u S ，前者称为力的边界，后者称为位移边界，即u S S S +=σ （5-4）在力的边界σS 上，i j ij T n =σ （5-5） 式中i T 为已知边界力，j n 为σS 的边界外法线向量与坐标轴夹角的方向余弦。

在位移边界u S 上，i i u u = （5-6） 式中i u 为已知边界位移。

（5-5）式和（5-6）式统称为“边界条件”。

上述的诸方程共有15个，即3个平衡方程，6个应变位移关系方程，6个物理关系方程。

而未知变量也共计15个：6个应力分量ij σ，6个应变分量ij ε和3个位移分量i u 。

因此该问题是可以求解的。

小位移变形弹性体的应变能泛函（或应变能密度）A 和余应变能泛函（余应变能密度）B 可表示为kl ij ijkl ij a A εε=ε21)( （5-9） kl ij ijkl ij b B σσ=σ21)( （5-10） 不难看出，)(ij A ε和)(ij B σ有以下关系，)()(ij ij ij ij B A σ+ε=σε （5-11）并且容易证明ij ij ij B σ∂σ∂=ε)( （5-12） ij ij ij A ε∂ε∂=σ)( （5-13） （一）虚功原理与总位能原理这里用ij εδ和i u δ分别表示应变变分和位移变分，在虚功原理中可视为虚应变和虚位移。

则由虚功原理可写出虚功方程为0dS δdV δd δV i =--εσ⎰⎰⎰σS i i i V ij ij u T u F V （5-14）(5-14)式成立是有条件的，要求ij εδ和i u δ在弹性体内部满足应变位移关系和在位移边界上满足给定位移边界条件，即)δδ(21δ,,i j j i ij u u +=ε （在V 内） （5-15a ） 0δ=i u （在u S 上） （5-15b ）虚功原理表明，如果弹性体在给定的体力和边界力作用下处于平衡状态，则对于为位移边界条件所容许的任意虚位移，（5-14）式成立。

反过来，如果（5-14）式对于为位移边界条件所容许的任意虚位移成立，则弹性体处于平衡状态。

值得提出的是，不管材料的应力应变关系是线性还是非线性，虚功原理都成立。

如果用下面泛函表示弹性体的总位能P ∏，⎰⎰σ--ε=∏S i i V i i ij S u T V u F A d d ])([p （5-16） 对（5-16）式取驻值，即一阶变分等于零，⎰⎰σ=--εσ=∏S i i V i i ij ij S u T V u F 0d δd ]δδ[δP （5-17） 将（5-14）式与（5-17）式比较，显然，（5-17）式就是（5-14）式。

所以，可以把总位能原理理解为虚功原理的另一种表达形式。

由于⎰⎰⎰σ=+σ=εσV j i ij i j j i V ij V ij ij V u V u u V d δd )δδ(21d δ,,, （5-18） 利用格林公式，上式等号右边积分可变换为 ⎰⎰⎰σ-σ=σV i j ij S i j ij V j i ij V u S u n V u d δd δd δ,, 并引用（5-15b ）式，则（5-17）式可化为 0d δ)(d δ)(,=σ-++σ⎰⎰σS i j ij i Vi i j ij S u n T V u F 因为i u δ为独立量，则由总位能驻值条件可导出：平衡方程（5-1）即0,=+σi j ij F （在V 内）及力的边界条件（5-5）即i j ij T n =σ（在σS 上）。

（5-16）式表达了弹性体的最小位能原理：在满足应变位移关系（5-2）和位移边界条件（5-6）的所有容许的i u 中，实际的i u 使弹性体的总位能取最小值。

（二）余虚功原理与总余能原理余虚功原理中，可取ij σδ表示弹性体内的应力变分，即虚应力。

另外，i T δ表示弹性体指定位移边界上的表面边界力的变分。

与虚功方程相类似的余虚功方程可表示为0d δd δ=-σε⎰⎰uS i i V ij ij S u T V （5-19） 余虚功原理是在满足平衡方程（5-1）式及力的边界条件（5-5）式的条件下成立，即满足（5-1）式和（5-5）式的变分形式的条件为0δ,=σj ij （在V 内） （5-20）0δ=i T （在σS 上） （5-21）现在定义下面的泛函为弹性体的总余能c ∏⎰⎰-σ=∏uS i i V ij S u T V B d d )(c （5-22） 现在对（5-22）式取驻值，即0δc =∏，则有0d δd )(δδc =-σ=∏⎰⎰uS i i V ij S T u V B (5-23) 利用格林公式，上式中的体积分项可化为⎰⎰⎰⎰⎰σ-σ=σ=σε=σVj ij i S ij j i V ij j i ij V ij V ij V u S n u V u V V B d δd δd δd δd )(δ,, 考虑到（5-21）式后，（5-23）式可写成0d δd δ)(,=σ-σ-⎰⎰V j ij i S j ij i i V u S n u u u (5-24) 再考虑到ij σδ应满足（5-20）式，且ij σδ为独立量，则由c ∏的驻值条件可以导出位移边界uS 上的协调条件为0=-i i u u （5-25）（5-22）式表达了弹性体的最小余能原理：在满足平衡方程（5-1）和力的边界条件（5-5）的所有容许的应力ij σ中，实际的应力ij σ使弹性体的总余能取最小值。

上面所讨论的变分原理，所提出的泛函是受一定条件约束的，如最小位能原理的泛函 P ∏应满足的条件是（5-2）式和（5-6）式，而最小余能原理的泛函c ∏应满足的条件是（5-1）式和（5-5）式。

这种变分原理称为不完全变分原理，或称为带约束条件的变分原理。

§5.2 小位移弹性理论的完全及不完全广义变分原理§5.2.1 完全广义变分原理现在，让我们利用拉格朗日乘子法，导出小位移弹性理论的无条件的广义变分原理。

在§5.1节的讨论中，不论是总位能原理或总余能原理，其能量泛函的提出是附带一定条件的即在满足一定条件下提出的。

如果我们利用拉格朗日乘子法，将泛函提出的条件作为约束方程引入到泛函中去，则问题的性质就发生了变化，即将带有约束条件的泛函转化为不带任何约束条件的泛函。

于是形成了下面的完全广义变分原理。

（1） 基于总位能原理的小位移弹性理论的完全广义变分原理现在，让我们将总位能原理的初始满足条件即应变位移关系式（5-2）和位移边界条件（5-6），分别乘以定义在体积V 内的和位移边界u S 上的拉格朗日乘子ij λ和j μ，并与总位能泛函p ∏相加组成新的泛函Gp ∏，Gp ,,1[()]d [()]d 2ij i i ij ij i j j i VV A Fu V u u V ελε∏=-+-+-⎰⎰ ⎰⎰-μ+σuS i i i S i i S u u S u T d )(d （5-26） 式中经受变分的独立量是ij ε，i u ，ij λ及i μ，而不需要附加任何条件。

对这些独立量进行变分，有⎰⎰⎰⎰⎰⎰σ-μ-+μ+-+λ-λ+-ε+ελ+ε∂∂=∏S i i S i i i i i V i i V i j j i ij V ij i j j i ij V ij ij ij S u T S u u u V u F V u u V u u V A u d δd ]δ)(δ[d δd )δδ(21d δ)](21[d δ)(δ,,,,Gp 引用（5-18）式及格林公式，上式第三个积分可化为⎰⎰⎰⎰λ-λ=λ=+λS V i j ij i j ij V j i ij Vi j j i ij V u S u n V u V u u d δd δd δd )δδ(21,,,, 将上式代入Gp δ∏式中，得⎰⎰⎰σ+λ-μ-+λ-μ+-λ+λ+-ε+ελ+σ=∏S i i j ij S i i i i j ij i V i i j ij ij i j j i ij ij ij ij S u T n S u u u n V u F u u u d δ)(d ]δ)(δ)[(d ]}δ)(δ)(21[δ){(δ,,,Gp由0δGp =∏可以导出以下各式ij ij σ-=λ，)(21,,i j j i ij u u +=ε，0,=-λi j ij F （在V 内） （5-27a,b,c ） j ij i n λμ=，i i u u = (在u S 上) （5-27d,e ） 0=+λi j ij T n （在σS 上） （5-27f ） 显然，（5-27c ）式表示平衡方程，（5-27b ）式表示应变与位移的关系式，将（5-27a ）式代入（5-27d ）式中，则得j ij i n σ-=μ，将（5-27a ）式带入（5-27f ）式得j ij n T σ=，表示力边界上的给定条件。