变分理论的一致性 赵建中（云南大学资源、环境与地球科学学院，昆明，650091） 摘要：本文以数学逻辑讨论了弹性力学中的变分理论。

讨论了钱伟长教授提出的变分原理中的变量独立问题。

文章发现，钱教授处理变量独立和变分原理约束问题的高阶拉格朗日乘子理论是不一致的；涉及变量独立问题的罗恩的理论存在着矛盾；对变分原理变量独立的传统理解隐含着矛盾。

在数学逻辑的背景下，变分理论必须是排除了误解和不确定性的数学逻辑系统；变量独立性应该逻辑地理解为变量本体性；变分理论形式化是解决变量独立问题的方法。

文章对弹性力学提出两个具有一致性的系统：变分公理系统和变分形式系统 关键词变分理论，变量独立，一致性，形式化，变分公理系统 ， 变分形式系统 中图分类号： O343.2 文献标识码：A 1. 引言广泛运用于数学、物理学和工程学诸多领域的变分法是数学物理方法的一种基本的、重要 的方法。

最小势能原理（Minimum Potential Energy Principle ，以下称MPEP ）是弹性力学中的一个典型的变分原理[1,2]。

胡海昌和鹫井久一郎分别独立地建立了三类变量的变分原理，通称胡海昌-鹫井久一郎原理（以下称 H-W 原理）[3-6]。

1964年, 钱伟长用拉格朗日乘子法推导出H-W 原理 。

何吉欢称，此举“使得推导广义变分原理从盲目走向科学” [7,8]。

1983-1985期间, 钱伟长论证了 H-W 原理有一个约束条件，因而原理中有一类变量不独立，原理等价于两变量的 Hellinger-Reissner 原理( 以下称H-R 原理)[9-13]。

为了解除H-W 原理 的约束，钱提出了高阶拉格朗日乘子法并建立了 ,λG 原理，而且称其为完全的广义变分原理[9-11]。

何吉欢称：“这是变分发展史上的重要里程碑” [7]。

然而，正如本文指出的，在钱的理论中存在着若干矛盾。

罗恩的工作也涉及到变量独立问题。

他事实上认为变分原理中的变量独立是不证自明的或理所当然的[14]。

但是变量独立的问题并没有解决，因为在他的系统中也存在着矛盾。

进一步，我们发现，在鹫井久一郎、钱伟长和罗恩的工作中明示的或隐含的有关变量独立的“传统”的理解隐含着矛盾 [6, 9-11, 14]。

本文提出并讨论了变分理论的一致性问题，指出一致性是对任何数学理论的基本要求，变分理论也不应该例外。

如果变分理论是一个严格的理论，它必须是排除了误解和不确定性的数学逻辑系统。

如果变分理论是一个具有一致性的系统，变量独立性就应该理解为变量本体性，变分理论的形式化是解决变量独立问题的方法。

其后我们对弹性力学的变分学提出了两个具有一致性的变分理论：变分公理系统和变分形式系统。

2.弹性力学的基本方程、变分理论的一致性原理 2.1. 弹性力学的基本微分方程 (a)平衡方程： )()3,2,1(0,τσin i F i j ij ==+ ; (2.1)(b)几何方程（应变-位移关系）： )()3,2,1,(0,)2/1(,)2/1(τin j i u u e i j j i ij ==-- ; (2.2)(c)物理方程（应力-应变关系）： )()3,2,1,(0)(τσin j i e e A ij ij==-∂∂ (2.3a) 或)()3,2,1,(0)(τσσinj i e B ij ij==-∂∂ ; (2.3b)(d)应力边界条件：)()3,2,1(0pi j ij s oni P n ==-σ ; (2.4)(e)位移边界条件：)()3,2,1(0ui i s oni u u ==- . (2.5) 式(2.1)-(2.5) 中应用了爱因斯坦惯例，如 ∑=∂∂=31,j jijjij x σσ ；τ 是弹性体的体积域；p s 是 加载面力 i P 的分片光滑的表面部分；u s 是给定位移 i u 的分片光滑的表面部分； i F 是 体力分量；ij σ, ij e 和 i u 分别为应力、应变和位移分量；)(e A 和 )(σB 分别为物体的势能和余能； j n 是边界面元法矢量的方向余弦。

物体边界 s 由两部分边界p s 和u s 组成,u p s s s += (2.6)2.2. 本文讨论的弹性力学的变分原理（给出泛函）{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=∏s ds u P d u F e A pi i i i p ττ)( (即 MPEP) , (2.7){}⎰⎰⎰----=∏ττσd u F u u e e A i i i j j i ij ij HW ],)2/1(,)2/1([)(⎰⎰⎰⎰---s ds u u n s ds u P up i i j ij i i )(σ (2.8)⎰⎰⎰⎰---up S S i i j ij i j ijds u P n ds u n )(σσ, (2.9)⎰⎰⎰⎰---s ds u u n s ds u P up i i j ijii)(σ, (2.10)⎰⎰⎰⎰---upS S i i j ij i j ijds u P n ds u n )(σσ. (2.11)2.3. 本文提出的变分理论的一致性原理当且仅当变分理论的逻辑系统中不存在逻辑矛盾时，该变分理论是一致的。

3. 高阶拉氏乘子理论的不一致性 3.1. 高阶拉氏乘子理论虽然钱伟长的论文中没有声明，但他的逻辑系统事实上包含下面的九个公设，九个定义和九条推导和推理规则：高阶拉氏乘子理论中明示的或隐含的公设P3.1. 泛函由(2.7)-(2.11)式表达的弹性力学变分原理。

.P3.2. 方程 (2.1), (2.2), (2.3a) 或(2.3b), (2.4) 和 (2.5) (本节中表为(2.1-2.5) )。

P3.3. 唯一性定理 [10]：对于某一物理问题而言，只要变量是完备的，变分约束条件已知，或根本没有任何变分约 束条件，则其有关变分原理或广义变分原理的泛函，是唯一地决定的。

P3.4. 变量独立性的矛盾律：对所讨论的任一变分原理而言，任一变量（ij σ、 ij e 或 i u ） 不能既是独立的又是不独立的。

P3.5. 变量独立性的排中律：对所讨论的任一变分原理而言，每一变量（ij σ、 ij e 或 i u ） 必须是独立的或者是不独立的。

P3.6. 约束性的矛盾律：对所讨论的任一变分原理而言，由(2.1-2.5)式表达的任一方程不能既是约束条件又是自然条件。

P3.7. 约束性的排中律：对所讨论的任一变分原理而言，由(2.1-2.5)式表达的每一方程必须是约束条件或是自然条件。

P3.8. 变分原理身份的矛盾律：对所讨论的弹性力学问题(2.1-2.5)而言，由P3.1 指定的任一变分原理不能既是有约束的变分原理又是无约束的、完全的广义变分原理。

P3.9. 变分原理身份的排中律：对所讨论的弹性力学问题(2.1-2.5)而言，由P3.1 指定的每一变分原理必须是有约束的变分原理或是无约束的、完全的广义变分原理。

. 高阶拉氏乘子理论中明示的或隐含的定义D3.1. 对所讨论的变分原理而言，当且仅当变量不受由D3.2 或D3.3定义的任何约束条件的约束时，该变量是独立的变量。

D3.2. 在进行正推理（见D3.5)、逆推理或半逆推理（见D3.6）的过程中，如果必须把一个代数方程或者一个微分方程用代入法代入变分原理或者该变分原理的欧拉方程，该代数方程或者微分方程是该变分原理的约束条件。

D3.3. 任何两个泛函由(2.7)-(2.11)式表达的变分原理，如果该二泛函的和或差等于零，则该二 变分原理等价。

使得该等价关系成立而必须满足的代数方程是变分原理的约束条件。

D3.4. 变分原理的自然条件是变分原理通过正推理（见D3.5）而得到的代数方程或微分方程。

D3.5. 正推理是从变分原理及其约束条件（如果有的话）出发，按照. D3.6. 逆推理是从 (2.1-2.5)式出发, 按照., 按照.D3.7. 约束变分原理是具有至少一个约束条件的变分原理。

D3.8. 广义变分原理是用拉格朗日乘子法解除约束而建立的变分原理。

完全的广义变分原理是用拉氏乘子法 和/或 高阶拉氏乘子法解除了所有约束条件而建立的变分原理。

D3.9. 证明是根据公设P3.1-P3.9和定义D3.1-D3.9 并遵循推导和推理规则 R3.1-R3.9.进行的数学逻辑推理过程。

高阶拉氏乘子理论中明示的或隐含的推导和推理规则R3.1. 变分法基本引理（ Fundamental Lemma of the calculus of variations [1] ）及其推广。

R3.2. 微分学的高斯定理（ Gauss Theorem ）。

R3.3. 弹性力学的剪应力互等定理(ji ij σσ=) 和功能原理 [2]。

R3.4. 代数、微分、积分和变分运算规则。

R3.5. 正推理（见D3.5)中的代入法。

这是一种解除约束的方法。

R3.6. 拉氏乘子法（一阶的和高阶的）。

这是半逆推理（见D3.6)中解除约束的方法。

R3.7. 逆推理或半逆推理（见D3.6)中的代入法。

这是向变分原理引入约束条件的方法。

R3.8. 逆推理（见D3.6)中的权余法（ weighted-residual method ）。

这是给变分原理引入自然条件的方法。

R3.9. 在一个约束条件中，至少有一个变量是受到约束的，因而该变量是不独立的。

在3.2-3.5节中，我们将在高阶拉氏乘子理论的框架内给出一些证明，表明高阶拉氏乘子理论存在着矛盾。

3.2. 有关 P3.3 和 P3.8的矛盾: 根据 D3.3 和R3.6的证明、定理和评述 由 0])()([=-+=∏+∏⎰⎰⎰ττσσd e B e A ijij HW HR (3.1)钱[10]根据 D3.3证明, H-R 原理和H-W 原理等价，它们都有约束条件0)()(=-+ij ij e B e A σσ (3.2)现在，我们遵照R3.6用高阶拉氏乘子法解除H-R 原理的约束，结果建立起H-W 原理 ：⎰⎰⎰-++∏-=∏ττσσλd e B e A ij ij H HR HW ])()([ (3.3)式中 1=H λ .这样，HW ∏是一个完全的广义变分原理。

我们知道，钱用高阶拉氏乘子法建立了完全的广义变分原理'λG ∏[9-11]。

由此可知，存在着两个而不是唯一的完全的广义变分原理的泛函 HW ∏ 和'λG ∏。

因而有定理：定理T3.2.1弹性力学至少存在着两个具有约束条件（3.2）的变分原理的泛函HR ∏ 和 HW ∏ ；至少存在着两个完全的 广义变分原理的泛函 HW ∏ 和'λG ∏。

定理T3.2.2H-W 原理（泛函为HW ∏）既是一个有约束的变分原理，又是一个完全的广义变分原理。