等腰三角形典型例题练习等腰三角形典型例题练习•选择题（共2小题）AD 平分/ BAC 交BC 于D,若BC=5cm , BD=3cm ，则点 D 到AB 的距离为（2. 如图，已知 C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为边并且在AB 的同一侧作等边 △ ACD 和等边△ BCE,连接AE 交CD 于M ，连接BD 交CE 于N .给出以下三个结论：① AE=BD② CN=CM③ MN // AB其中正确结论的个数是（ ）A. 0 B . 1 |C. 2 D. 3二.填空题（共1小题）3. ______________________________________ 如图，在正三角形 ABC 中，D, E, F 分别是 BC, AC , AB 上的点，DE 丄AC , EF 丄AB , FD 丄BC ,则△ DEF 的面积与△ ABC 的面积之比等于 .E 、F 分别为 AB 、AC 上的点，且/ EDF+ / EAF=180 °求证5. 在△ ABC 中，/ ABC 、/ ACB 的平分线相交于点 0,过点0作DE // BC,分别交 AB 、AC 于点D 、E.请说明DE=BD+EC .C . 2cmD .不能确定B . 3 cm 三.解答题（共15小题）6. ＞已知：如图，D 是厶ABC 的BC 边上的中点，DE 丄AB , DF 丄AC ,垂足分别为 E, F,且DE=DF .请判断△ ABC 是什么三角形？并说明理由.7. 如图，△ ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长 BC 至E,使CE=CD .连接DE .(1) Z E 等于多少度？(2) △ DBE 是什么三角形？为什么？&如图，在 △ ABC 中，/ ACB=90 ° CD 是 AB 边上的高，/ A=30 ° 求证：AB=4BD . C9.如图，△ ABC 中，AB=AC ，点D 、E 分别在 AB 、AC 的延长线上，且 BD=CE , DE 与BC 相交于点F.求证: DF=EF .10 .已知等腰直角三角形 ABC , BC 是斜边./ B 的角平分线交 AC 于D ，过C 作CE 与BD 垂直且交BD 延长线 于E,求证：BD=2CE .11. (20PP?牡丹江)如图 ①，△ ABC 中.AB=AC , P 为底边 BC 上一点，PE 丄AB , PF 丄AC , CH 丄AB ，垂足分 别为E 、F 、H.易证PE+PF=CH .证明过程如下：如图①，连接AP.•/ PE 丄 AB , PF 丄 AC , CH 丄 AB ,二 S ^ABP =P AB ?PE, S A ACP = AC?PF, S A ABC =』AB?CH .又••• S A ABP +S A ACP =S A ABC ,••• !AB ?PE +!AC ?PF =!AB ?CH . 2 2 12•/ AB=AC ,• PE +PF =CH .(1)如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想, 并加以证明：(2)填空：若/ A=30 ° △ ABC 的面积为49,点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF,当PF=3时，则.点P 到AB 边的距离PE= 12•数学课上，李老师出示了如下的题目：在等边三角形 ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且 ED=EC ，如图，试确定线段 AE 与DB 的大小 关系，并说明理由”. 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答:(1)特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE或=”).(2)特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE ____________________ DB (填\”， N ”或=”).理由如下：如图2，过点E 作 EF // BC,交AC 于点F.(请你完成以下解答过程)(3) 拓展结论，设计新题的长(请你直接写出结果) 13. 已知：如图， AF 平分/ BAC , BC 丄AF 于点E,点D 在AF 上，ED=EA ，点P 在CF 上，连接PB 交AF 于点 M .若/ BAC=2 / MPC ，请你判断/ F 与/ MCD 的数量关系，并说明理由.C14. 如图，已知 △ ABC 是等边三角形，点 D 、E 分别在BC 、AC 边上，且 AE=CD , AD 与BE 相交于点F.(1) 线段AD 与BE 有什么关系？试证明你的结论.(2) 求/ BFD 的度数.DB （填 \”,在等边三角形 ABC 中，点E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC.圉1 图2AB 边上的高CH= AE=2，求 CD16. 已知：如图，在 △ OAB 中，/ AOB=90 ° OA=OB ，在△ EOF 中，/ EOF=90 ° OE=OF ，连接 AE 、BF .问线 段AE 与BF 之间有什么关系？请说明理由.17. (20PP?郴州)如图，在 △ ABC 中，AB=AC , D 是BC 上任意一点，过 D 分别向AB , AC 引垂线，垂足分别为E, F ，CG 是AB 边上的高.(1) DE ，DF ，CG 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明;(1) 中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由.18. 如图甲所示，在 △ ABC 中，AB=AC ，在底边BC 上有任意一点P ，贝U P 点到两腰的距离之和等于定长(腰上 的高)，即PD+PE=CF ，若P 点在BC 的延长线上，那么请你猜想 PD 、PE 和CF 之间存在怎样的等式关系？写出你 的猜想并加以证明.和CF , 求证：AE=CF .(2)若D 在底边的延长线上,等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一•选择题（共2小题）1.如图，/ C=90° AD平分/ BAC交BC于D，若BC=5cm , BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A . 5cmB . 3cm C. 2cm D.不能确定解答: 解：T / C=90 ° AD 平分/ BAC 交 BC 于 DD到AB的距离即为CD长CD=5 - 3=2故选C .2.如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ ACD和等边△ BCE，连接 AE交CD于M，连接BD交CE于N .给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN // AB其中正确结论的个数是（A. 0卡析:B . 1D. 3弹答:由厶ACD和厶BCE是等边三角形，根据 SAS易证得△ ACE DCB，即可得① 正确；由A ACE DCB，可得/ EAC= / NDC，又由/ ACD= / MCN=60 °利用ASA，可证得△ ACM DCN，即可得②正确；又可证得△ CMN 是等边三角形，即可证得③正确.解：•••△ ACD 和厶 BCE 是等边三角形，二/ ACD= / BCE=60 ° AC=DC , EC=BC ,/•Z ACD+ / DCE= / DCE+ / ECB，即/ ACE= / DCB，二△ ACEDCB (SAS),••• AE=BD，故① 正确；/Z EAC= Z NDC , T Z ACD= Z BCE=60 ° /Z DCE=60 ° /Z ACD= Z MCN=60 °•/ AC=DC , /△ ACM DCN (ASA ), •/ CM=CN，故②正确；又Z MCN=180。

-Z MCA -Z NCB=180 °-60°- 60°60°/•△ CMN是等边三角形，/•/ NMC= Z ACD=60 °,/ MN // AB，故③正确.故选 D.二•填空题（共1小题）3.如图，在正三角形 ABC中，D , E , F分别是BC , AC , AB上的点，DE丄AC , EF丄AB , FD丄BC ,则△ DEF的面积与△ ABC的分析:解答:首先根据题意求得：Z DFE= Z FED= Z EDF=60 °即可证得△ DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF : AB=1 :；，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果.解：•••△ ABC 是正三角形，/.Z B= Z C= Z A=60 °T DE 丄 AC , EF± AB , FD 丄BC，/Z AFE= Z CED= Z BDF=90 °RFl i/Z BFD= Z CDE= Z AEF=30 ° /Z DFE= Z FED= Z EDF=60 ° 竺丄，BF 2/△ DEF 是正三角形，/ BD : DF=1 : ①,BD : AB=1 : 3②，△ DEF ABC ,①-②，二= ", / DF : AB=1 : ", /△ DEF的面积与△ ABC的面积之比等于 1: 3.故答案为：1 : 3.D三•解答题（共15小题）4.在△ ABC中，AD是/ BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且/ EDF+ / EAF=180 °求证DE=DF •分析: 解答: 过D作DM丄AB，于M， DN丄AC于N，根据角平分线性质求出 DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求出Z AED= Z CFD，根据全等三角形的判定 AAS推出△ EMD FND即可.证明：过D作DM丄AB，于M，DN丄AC于N，（角平分线性质），/ DME= / DNF=90 °vZ EAF+ / EDF=180 ° :丄 MED+ / AFD=360 °- 180°=180 °VZ AFD+ Z NFD=180 ° :-Z MED= Z NFD，在厶EMD和厶FND中'ZMBD^ZDFN■' ZDIE-ZDNF，：△ EMD FND，•: DE=DF .LDM=DN0,过点0作DE// BC,分别交 AB、AC于点D、E.请说明DE=BD+EC .分析：根据0B和0C分别平分Z ABC和Z ACB，和DE // BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=D0，0E=EC .然后即可得出答案.解答：解：v在△ ABC中，0B和0C分别平分Z ABC和Z ACB，:.Z DB0= Z 0BC，Z EC0= Z OCB，v DE // BC，：Z DOB= Z OBC= Z DBO，Z EOC= Z OCB= Z ECO，•: DB=DO，OE=EC，v DE=DO+OE，•: DE=BD+EC .6.＞已知：如图，D是厶ABC的BC边上的中点，DE丄AB，DF丄AC，垂足分别为 E，F，且DE=DF .请判断△ ABC是什么三角形? 并说明理由.用(HL)证明△ EBDFCD ，从而得出/ EBD= / FCD ，即可证明△ ABC 是等腰三角形. △ ABC 是等腰三角形. 证明：连接 AD ，丁 DE 丄 AB , DF 丄 AC ,^Z BED= / CFD=90 ° 且 DE=DF ,•/ D 是厶ABC 的BC 边上的中点，BD=DC ,/• Rt △ EBD 幻 Rt △ FCD ( HL )，EBD= / FCD ，二△ ABC 是等腰三角形.7.如图，△ ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长 BC 至E,使CE=CD .连接DE . (1 )Z E 等于多少度？ ( 2) △ DBE 是什么三角形？为什么？AC E(1) 由题意可推出/ ACB=60 ° / E=Z CDE ，然后根据三角形外角的性质可知： / ACB= / E+Z CDE ,即可推出/ E 的度数；(2) 根据等边三角形的性质可知， BD 不但为AC 边上的高，也是Z ABC 的角平分线，即得：Z DBC=30 °然后再 结合(1)中求得的结论，即可推出 △ DBE 是等腰三角形.解：(1)：上ABC 是等边三角形，•••/ ACB=60 °•- CD=CE ,「.Z E= Z CDE ，丁Z ACB= Z E+ Z CDE ，二 Z E AZACB 二丄 X, (2) •••△ ABC 是等边三角形，BD 丄AC ABC=60 ° 二 /D 眈二丄Z ABC 二30” ,vZ E=30° /-Z DBC= Z E,「.A DBE 是等腰三角形.8. 如图，在△ ABC 中，Z ACB=90 ° CD 是 AB 边上的高，Z A=30 ° 求证：AB=4BD .分析：由厶ABC 中，Z ACB=90 ° Z A=30。