等腰三角形典型例题练习等腰三角形典型例题练习一•选择题（共2小题）1 如图，/ C=90° AD平分/ BAC交BC于D,若BC=5cm , BD=3cm，则点D到AB的距离为（）2. 如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC 为边并且在AB的同一侧作等边△ ACD 和等边△BCE,连接AE交CD于M，连接BD交CE于N .给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN // AB其中正确结论的个数是（）A. 0 B . 1 |C. 2 D. 3二.填空题（共1小题）3. ______________________________________ 如图，在正三角形ABC中，D, E, F分别是BC, AC , AB上的点，DE 丄AC , EF丄AB , FD丄BC ,则△ DEF 的面积与△ ABC的面积之比等于.5. 在△ ABC中，/ ABC、/ ACB的平分线相交于点0,过点0作DE // BC,分别交AB、AC于点D、E.请说明DE=BD+EC .B • 3 cm C. 2cm D.不能确定三.解答题（共15小题）4.在厶ABC中，AD是/ BAC的平分线, E、F分别为AB、AC上的点，且/ EDF+ / EAF=180 °求证DE=DF .A • 5cm6. ＞已知：如图，D是厶ABC的BC边上的中点，DE丄AB , DF丄AC ,垂足分别为E, F,且DE=DF .请判断△ ABC 是什么三角形？并说明理由.7. 如图，△ ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E,使CE=CD .连接DE .(1)Z E等于多少度？(2)△ DBE是什么三角形？为什么？&如图，在△ ABC 中，/ ACB=90 ° CD 是AB 边上的高，/ A=30 ° 求证：AB=4BD .9.如图，△ ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE , DE与BC相交于点F.求证: DF=EF .10 .已知等腰直角三角形ABC , BC是斜边./ B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证：BD=2CE .11. (2012?牡丹江)如图①，△ ABC中.AB=AC , P为底边BC上一点，PE丄AB , PF丄AC , CH丄AB，垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH .证明过程如下：如图①，连接AP.•/ PE丄AB , PF丄AC , CH 丄AB ,二S^ABP= AB?PE, S A ACP= AC?PF, S A ABC=—AB?CH .2 2 2又T ABP+S A ACP=S A ABC ,••• _AB ?PE+丄AC ?PF= AB ?CH .2 2 2•/ AB=AC ,• PE+PF=CH .(1)如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：(2)填空：若/ A=30 ° △ ABC的面积为49,点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时，则AB边上的高CH= ______________ .点P到AB边的距离PE= _______________ .12•数学课上，李老师出示了如下的题目：在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE _________________ DB (填\ ”,或=”).(2 )特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE _________________ D B (填\”，N ”或=”).理由如下：如图2，过点E作EF // BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC .若△ ABC的边长为1, AE=2，求CD的长(请你直接写出结果). 仝〔国一13. 已知：如图，AF平分/ BAC , BC丄AF于点E,点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M .若/ BAC=2 / MPC，请你判断/ F与/ MCD的数量关系，并说明理由.14. 如图，已知△ ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD , AD与BE相交于点F.(1)线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论.(2)求/ BFD的度数.15. 如图，在△ ABC中，AB=BC，/ ABC=90 ° F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF 和CF,求证：AE=CF .16. 已知：如图，在△ OAB 中，/ AOB=90 ° OA=OB，在△ EOF 中，/ EOF=90 ° OE=OF，连接AE、BF .问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由.I)17. （2006?郴州）如图，在 △ ABC 中，AB=AC , D 是BC 上任意一点，过 D 分别向AB , AC 引垂线，垂足分别为 E , F ，CG 是AB 边上的高.（1） DE , DF , CG 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2） 若D 在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由.18. 如图甲所示，在 △ ABC 中，AB=AC ，在底边BC 上有任意一点P ,贝U P 点到两腰的距离之和等于定长（腰上 的高），即PD+PE=CF ，若P 点在BC 的延长线上，那么请你猜想 PD 、PE 和CF 之间存在怎样的等式关系？写出你 的猜想并加以证明.等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一•选择题（共2小题）1 如图，/ C=90° AD平分/ BAC交BC于D,若BC=5cm , BD=3cm，则点D到AB的距离为（）2. 如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ ACD 和等边△BCE,连接AE交CD于M，连接BD交CE于N .给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN // AB其中正确结论的个数是（）A. 0 B . 1 |C. 2 D. 3考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.分析：由厶ACD和厶BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ ACE ◎△ DCB，即可得① 正确；由△ACE DCB，可得/ EAC= / NDC，又由/ ACD= / MCN=60 ° 利用ASA，可证得△ACM ◎△ DCN，即可得② 正确；又可证得△ CMN是等边三角形，即可证得③ 正确.解答：解：•••△ ACD 和厶BCE 是等边三角形，•/ ACD= / BCE=60 ° AC=DC , EC=BC ,•••/ ACD+ / DCE= / DCE+ / ECB，即/ ACE= / DCB , •△ ACE DCB （SAS）,• AE=BD，故①正确；•••/ EAC= / NDC ,•••/ ACD= / BCE=60 ° DCE=60 ° ACD= / MCN=60 °•/ AC=DC ACM ◎△ DCN (ASA) , • CM=CN，故② 正确；又/ MCN=180 °-Z MCA -/ NCB=180。

- 60°- 60°=60°•△ CMN是等边三角形，•/ NMC= / ACD=60 ° • MN // AB，故③正确.故选 D .二.填空题（共1小题）3. 如图，在正三角形ABC中，D, E, F分别是BC, AC , AB上的点，DE丄AC , EF 丄AB , FD丄BC ,则△ DEF 的面积与△ ABC的面积之比等于1: 3 .B • 3 cm C. 2cm D.不能确定考点：解答:角平分线的性质.由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点的长，问题可解.解：I/ C=90° AD 平分/ BAC 交BC 于 D••• D至U AB的距离即为CD长CD=5 - 3=2故选C.D到AB的距离等于D到AC的距离即CDA • 5cm考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.分析：首先根据题意求得： / DFE= / FED= / EDF=60 °即可证得△ DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF : AB=1 : ，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果.解答：解：•••△ ABC 是正三角形，•••/ B= / C= / A=60 °•/ DE 丄AC , EF丄AB , FD 丄BC，• / AFE= / CED= / BDF=90 °•••/ BFD= / CDE= / AEF=30 ° DFE= / FED= / EDF=60 ° 型丄BF 2• △ DEF 是正三角形，• BD : DF=1 :黃①，BD: AB=1 : 3②,△ DEFABC ,①十②，冬忑,• DF : AB=1 : DEF的面积与△ ABC的面积之比等于1: 3.考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义.过D作DM丄AB，于M , DN丄AC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求出/ AED= / CFD，根据全等三角形的判定证明：过D作DM丄AB，于M , DN丄AC于N ,•/ AD 平分/ BAC , DM 丄AB , DN 丄AC , • DM=DN （角平分线性质），/ DME= / DNF=90 °•••/ EAF+ / EDF=180 °MED+ / AFD=360 °- 180 °180 °•••/ AFD+ / NFD=180 °MED= / NFD ,在厶EMD和△ FND中f ZMED=ZDFN三•解答题（共15小题）4.在厶ABC中，AD是/ BAC的平分线, E、F分别为AB、AC上的点，且/ EDF+ / EAF=180 °求证DE=DF .分析:解答:AAS 推出△ EMD ◎△ FND 即可.* ZDME=ZDNF，•△ EMD ◎△FND ,••• DE=DF .DM=DNL5. 在△ ABC中，/ ABC、/ ACB的平分线相交于点O,过点O作DE // BC,分别交AB、AC于点D、E.请说明DE=BD+EC .B C考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质.分析：根据OB和0C分别平分/ ABC和/ ACB ,和DE // BC ,利用两直线平行，内错角相等和等量代换, 求证出DB=DO，OE=EC .然后即可得出答案.解答：解：•••在△ ABC中，0B和0C分别平分/ ABC和/ACB ,•••/ DBO= / OBC ,Z ECO= / OCB ,•••DE // BC，•/ DOB= / OBC= / DBO，/ EOC= / OCB= / ECO ,• DB=DO , OE=EC，: DE=DO+OE , • DE=BD+EC .6. ＞已知：如图，D是厶ABC的BC边上的中点，DE丄AB , DF丄AC ,垂足分别为E, F,且DE=DF .请判断△ ABC 是什么三角形？并说明理由.考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质.分析：用(HL )证明△ EBD FCD，从而得出/ EBD= / FCD，即可证明△ ABC是等腰三角形.解答：△ ABC是等腰三角形.证明：连接AD，: DE 丄AB , DF 丄AC，•/ BED= / CFD=90 ° 且DE=DF ,•/ D是厶ABC的BC边上的中点，• BD=DC ,• Rt△ EBD也Rt△ FCD (HL ) , EBD= / FCD , •△ ABC 是等腰三角形.7. 如图，△ ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E ,使CE=CD .连接DE .(1) z E 等于多少度？ ( 2) △ DBE 是什么三角形？为什么?考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定. 分析： (1 )由题意可推出/ ACB=60 ° Z E=Z CDE ，然后根据三角形外角的性质可知：/ ACB= / E+ / CDE , 即可推出/ E 的度数；(2)根据等边三角形的性质可知， BD 不但为AC 边上的高，也是Z ABC 的角平分线，即得： Z DBC=30 °然后再结合(1)中求得的结论，即可推出 △ DBE 是等腰三角形.解答：: 解: (1)：公 ABC 是等边三角形，•••/ ACB=60 ° •••CD=CE ，•/ E = Z CDE ,•••/ ACB = Z E+Z CDE ,•〕「 ■- - i -,(2)•••△ ABC 是等边三角形，BD 丄AC ,「.Z ABC=60 ° • ZDBC 一2乙粧(>3(?, 2vZ E=30° z.Z DBC= Z E ,•△ DBE 是等腰三角形.&如图，在 △ ABC 中，/ ACB=90 ° CD 是 AB 边上的高，/ A=30 ° 求证：AB=4BD .考点：含30度角的直角三角形. 分析：由厶ABC 中，Z ACB=90 ° Z A=30可以推出AB=2BC ，同理可得 BC=2BD ，则结论即可证明. 解答： 解：vZ ACB=90 ° Z A=30 ° • AB=2BC , Z B=60 °又 v CD 丄 AB ,•••/ DCB=30 ° • BC=2BD . • AB=2BC=4BD .9.如图，△ ABC 中，AB=AC ，点D 、E 分别在 AB 、AC 的延长线上，且 BD=CE, DE 与BC相交于点F .求证: DF=EF .在^ DFG 和厶EFC中r Z4=Z3ZDFG 二 Z^FC ，二△ DFG ◎△ EFC ,.・. DF=EF .L DG=CE10 .已知等腰直角三角形 ABC , BC 是斜边./ B 的角平分线交 AC 于D ，过C 作CE 与BD 垂直且交BD 延长线 于E ， 求证：BD=2CE .延长CE , BA 交于一点F ,由已知条件可证得 △ BFE 全也△ BEC ，所以FE=EC ，即CF=2CE ，再通 过证明△ ADB FAC 可得 FC=BD ，所以 BD=2CE . 证明：如图，分别延长 CE , BA 交于一点F .•/ BE 丄 EC ,：/ FEB= / CEB=90 ° •/ BE 平分/ ABC ,二/ FBE= / CBE , 又••• BE=BE ,•••△ BFE ◎△ BCE (ASA ) . FE=CE . ： CF=2CE .•/ AB=AC , / BAC=90 ° / ABD+ / ADB=90 ° / ADB= / EDC , •/ ABD+ / EDC=90 ° 又•••/ DEC=90 ° / EDC+ / ECD=90 ° , FCA= / DBC= / ABD . • △ ADB ◎△ AFC . • FC=DB , • BD=2EC .11. (2012?牡丹江)如图 ①，△ ABC 中.AB=AC , P 为底边BC 上一点，PE 丄AB , PF 丄AC , CH 丄AB ，垂足分 别为E 、F 、H .易证PE+PF=CH .证明过程如下： 如图①，连接AP .••• PE 丄AB , PF 丄 AC , CH 丄 AB , • S ^ABP = AB ?PE , S ^ACP ==AC?PF , S ^ABC = ,AB ?CH .疋•匕疋又T ABP +S A ACP =S A ABC ,• =AB ?p E+ AC?p F==A B ?CH . •/ AB=AC , • PE+PF=CH .分析: 解答:£考点： 全等三角形的判定与性质.(1)如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：(2)填空：若/ A=30 ° △ ABC的面积为49,点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时，则AB边上的高CH= 7 .点P到AB边的距离PE= 4 或10 .考点：等腰三角形的性质；三角形的面积.分析：(1 )连接AP •先根据三角形的面积么式分别表示出S^AB P , S^ACP , S^ABC，再由S A ABP=S A ACP+S A ABC即可得出p E=p F+p H ;(2)先根据直角三角形的性质得出AC=2CH ,再由△ ABC的面积为49,求出CH=7 ,由于CH > PF, 则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH ;②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH .解答：解: (1)如图②，PE=PF+CH .证明如下：:PE 丄AB , PF 丄AC, C H丄AB …S“Bp*B?p E, 5气沖,$△ "?曲, •/ S A ABP=S A ACP+S△ ABC，二丄AB?PE」AC?PF+丄AB?CH，又T AB=AC , A PE=PF+CH ;2 2 2(2)•••在△ ACH 中，/ A=30 ° A AC=2CH .T S A AB C气AB?CH , AB=AC ,A *X2CH?CH=49 , A CH=7 .分两种情况：①P为底边BC上一点，如图①.•/ PE+PF=CH , A PE=CH - PF=7 - 3=4;②P为BC延长线上的点时，如图②.• PE=PF+CH , A PE=3+7=10 .故答案为7; 4 或10.A 4圍①图②12 •数学课上，李老师出示了如下的题目：在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论过A 作AM 丄BC 于M ，过E 作EN 丄BC 于N ，贝U AM // EM , •/△ ABC 是等边三角形，••• AB=BC=AC=1 ,•/ AM 丄 BC ,• BM=CM= —BC= —, v DE=CE , EN 丄 BC , • CD=2CN , 2 2当点E 为AB 的中点时，如图1,确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论： AE或=”).(2 )特例启发，解答题目解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE 交AC 于点F .(请你完成以下解答过程) (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC 中，点DB (填 E 在直线AB 上，点D 在直线DB (填、”，N”的长(请你直接写出结果) 考点： 分析:解答:、”，之”或=”).理由如下：如图2，过点 BC 上，且ED=EC .若△ ABC 的边长为1,E 作 EF // BC ,AE=2，求 CD等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. O(1)根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出/ D= / ECB=30 °求出/ DEB=30 °求出BD=BE即可；(2 )过E 作EF // BC 交AC 于F ，求出等边三角形 AEF ，证△ DEB 和厶ECF 全等，求出BD=EF 即 可; (3)当D 在CB 的延长线上，E 在AB 的延长线式时， 由(2)求出CD=3，当E 在BA 的延长线上， D 在BC 的延长线上时，求出 CD=1 .解：(1)故答案为:(2)过 E 作 EF // BC 交 AC 于 F ,•••等边三角形 ABC ，•/ ABC= / ACB= / A=60 ° AB=AC=BC , •••/ AEF= / ABC=60 ° / AFE= / ACB=60 ° 即/ AEF= / AFE= / A=60 °, • △ AEF 是等边三角形，• AE=EF=AF ,•••/ ABC= / ACB= / AFE=60 ° DBE= / EFC=120 ° / D+ / BED= / FCE+ / ECD=60 ° ° •/ DE=EC ，•/ D= / ECD ，•/ BED= / ECF , 在厶DEB 和厶ECF 中f ZDEB=ZECF* ZDBE=ZEFC ,^^ DEB ECF ,••• BD=EF=AE ，即 AE=BD ，故答案为：=.L DE=CE(3) 解:CD=1 或 3,理由是：分为两种情况：①如图1D2•/ AM // EN ,•••△ AMB s\ ENB , ••上 ___________ =,BE BW 2-1 BNB ~~c ~~b圏2②如图2,作AM 丄BC 于M ，过E 作EN 丄BC 于N , 贝U AM // EM , •/△ ABC 是等边三角形，• AB=BC=AC=1 ,•/ AM 丄 BC ,• BM=CM= _BC=_, v DE=CE , EN 丄 BC , • CD=2CN ,•/AM // EN ，•“ = ',•••=,• MN=1 ,• CN=1 - = , • CD=2CN=113. 已知：如图， AF 平分/ BAC , BC 丄AF 于点E ,点D 在AF 上，ED=EA ，点P 在CF 上，连接PB 交AF 于点 M .若/ BAC=2 / MPC ，请你判断/ F 与/ MCD 的数量关系，并说明理由.理由是：v AF 平分/ BAC , BC 丄 AF ，•/ CAE= / BAE ，/ AEC= / AEB=90 ° 在厶ACE 和厶ABE 中AE MN考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD ，推出/ CDA= / CAD= / CPM ，求出/ MPF= / CDM ，/ PMF= / BMA= / CMD ，在△ DCM 和△ PMF 中 根据三角形的内角和定理求出即可. 解答:解：/ F= / MCD ,• BN= ,••• CN=1 + *£ ,••• CD=2CN=3 ;I rj ZAEC=ZAEB•J 觥二腿，：.△ ACE ◎△ ABE (ASA )「. AB=AC ,LZCAE=ZBAE•••/ CAE= / CDE ••• AM 是BC 的垂直平分线，二CM=BM , CE=BE CMA= / BMA ,•/ AE=ED , CE 丄AD , • AC=CD，•/ CAD= / CDA ,•••/ BAC=2 / MPC，又I/ BAC=2 / CAD ,•••/ MPC= / CAD , •/ MPC= / CDA , •/ MPF= / CDM ,•/ MPF= / CDM (等角的补角相等)，J / DCM+ / CMD+ / CDM=180 ° / F+/ MPF+ / PMF=180 °又•••/ PMF= / BMA= / CMD，•/ MCD= / F.14. 如图，已知△ ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD , AD与BE相交于点F.(1)线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论.(2)求/ BFD的度数.考点：：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质.分析：(1)根据等边三角形的性质可知/ BAC= / C=60 ° AB=CA ,结合AE=CD ,可证明△ ABE ◎△ CAD , 从而证得结论；(2)根据/ BFD= / ABE+ / BAD，/ ABE= / CAD，可知/ BFD= / CAD+ / BAD= / BAC=60 °解答：(1)证明：•••△ ABC 为等边三角形，•/ BAC= / C=60 ° AB=CA . 在厶ABE和厶CAD中，F AB=AC-ZBAE=ZC •••△ ABE ◎△CAD • AD=BE .k AE=CD(2 )解：J/ BFD= / ABE+ / BAD ,又•••△ ABE CAD，•/ ABE= / CAD . •/ BFD= / CAD+ / BAD= / BAC=60 °15. 如图，在△ ABC中，AB=BC，/ ABC=90 ° F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF 和CF,求证：AE=CF .考点：全等三角形的判定与性质.分析：根据已知利用SAS即可判定△ ABE ◎△ CBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF . 解答：证明：J/ ABC=90 ° •/ ABE= / CBF=90 °又J AB=BC , BE=BF , •△ABE CBF ( SAS). • AE=CF .16.已知：如图，在△ OAB 中，/ AOB=90 ° OA=OB，在△ EOF 中，/ EOF=90 ° OE=OF，连接AE、BF .问线段AE理由：在△ AEO与厶BFO中，••• Rt △ OAB 与Rt △ OEF 等腰直角三角形，二AO=OB , OE=OF，/ AOE=90。