A
B
图1
C
B
A
图2
C
BA
图3
C
BAC
图4
实验2： 将纸片三角形顶角剪下，随意将它们
拼凑在一起。
A 1
3 1 2 C 1 B 2
D
在证明三角形内角和时，小明
的想法是把三个角“凑”到A处，
D
辅助线 A
E
他过点A作直线DE//BC，（如
图）。他的想法可行吗？
B C
证明
过点A作DE∥BC.则
∠C＝∠CAE，∠B＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）
A
O D
C
（2）∵ AC⊥DC（已知）， ∴ ∠D+∠CAD＝90º（直角三角形的两个锐角互余）. ∵ BC⊥AD（已知）， ∴ ∠B+∠BAD＝90º（直角三角形的两个锐角互余）. ∵ ∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义）， ∴ ∠B＝∠D（等角的余角相等）.
练一练
证明命题：如果三角形的一个内角的平分线垂直对
∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠BAD+∠CAE
＝∠DAE＝180º （平角的定义） 你还有其他的证明方法么？
A
已知：如图， △ABC.
E 1 2 B C D
求证：
∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180° 证明:
作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，则 ∠1＝∠Ａ（两直线平行，内错角相等）

∠2＝∠Ｂ（两直线平行，同位角相等）
A
已知： 如图，∠ACD是△ABC的一个外角 求证： ∠ACD =∠A+∠B
B
C
D
证明：
三角形内角和定理的几何表述：
1、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800. 2、三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和 ∴∠1+∠2 ＝ ∠Ａ+∠Ｂ 3、三角形的一个外角大于任何 一个和它不相邻的内角 ∴ ∠ACD>∠A, ∠ACD>∠B
B C
A
B
A E
C
1
2 D
做一做
1、在△ABC中，以A为顶点的一个外角为120°， A
∠B=50°，则∠C= 70° °，请说明理由.
B D
C
2、如图，比较∠1与∠2+∠3的大小，并证明你的判断.
A
E 3
2 1 D
B
C
例2、已知：如图，AD是∠BAC的平分线，BC⊥AD于点
O，AC⊥DC于点C.
线上，且AD＝BE，AC∥DF，则△ABC≌△DEF.
这个命题是真命题还是假命题？
C F
A
D
B
E
如果是真命题，请给出证明；
如果是假命题，请添加适当的条件，使它成为
真命题.你有几种不同的添加方法？
3、添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系
已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的做题时要注意总结.
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.
推论： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
回顾与思考
☞
证明命题的一般步骤:
(1)根据题意,画出图形； (2)分清命题的条件和结论，结合图形，在“已
知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
(3)在“证明”中写出推理过程. 依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰 地写出证明过程；检查表达过程是否正确、完善.
合作探索
对于三角形，我们已经有哪些认识？
边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知：如图，AD是∠BAC的平分线，BC⊥AD于点O. 求证：△ABC是等腰三角形；
A
B
D
C
练一练
1、已知，如图，AD是△ABC的高. 求证：∠B+∠BAD＝∠C+∠CAD.
B D C A
2、已知：如图，A，C是线段BD的垂直平分 线上的任意两点.求证：∠ABC＝∠ADC
求证：(1) △ABC是等腰三角形 (2) ∠D=∠B ；
A
O B
C
D
证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线（已知） ∴∠BAO＝∠CAO（角平分线的定义）. ∵ BC⊥AD（已知）， ∴ ∠AOB＝∠AOC＝Rt∠(垂线的定义). B 又∵ AO＝AO（公共边）， ∴ △ABO≌△ACO（ASA）. ∴ AB＝AC（全等三角形的对应边相等）. ∴ △ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）
∠1+∠2+∠ＡＣＢ＝180°
∠Ａ+∠Ｂ+∠ＡＣＢ＝180°
A
E
A
F E
B 图1
C
B
D 图2
C
A S Q P R M B M 图3 T C N Q
S P
N
A R
B T 图4
C
关于辅助线：
1、辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线 通常画成虚线） 2、它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显 现出来，起到牵线搭桥的作用.
B C A
D
练一练
3、已知：如图，△ABC≌△BAD，BC与AD交于点O。
求证：OC=OD
C
D
O A
B
4、如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠B=500，把 △ABC绕点A按顺时针方向旋转300，得△DAE，DE交AB C 于点F，求∠BFD的度数。 E A F B D
已知命题：如图，点A，D，B，E在同一直
定义
A
分类 内角和 外角和
B
C
…………
三角形的三个内角的和等于180°. 例1、求证： 已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC
A
的三个内角.
求证：∠A+∠B+∠C=180°
B C
例1、求证：三角形三个内角的和等于180º. 实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点 落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处 两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合 （图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果。