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2003年高考数学试题全国文及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学(文史类)注意事项:1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3. 考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式:三角函数的积化和差公式: 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长,l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式:334R V π=球 ,其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至10页将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷(选择题共60分)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 1.直线2y x x =关于对称的直线方程为 ( ) (A )12y x =- (B )12y x = (C )2y x =- (D )2y x =2.已知,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭,54cos =x ,则2tg x = ( ) (A )247 (B )247- (C )724 (D )724-3.抛物线2y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 ( )(A )18 (B )18- (C )8 (D )8- 4.等差数列{}n a 中,已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为( )(A )48 (B )49 (C )50 (D )515.双曲线虚轴的一个端点为M ,两个焦点为1212,,120F F F MF ∠=︒,则双曲线的离心率为( )(A (B (C (D6.设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ,若1)(0>x f ,则0x 的取值范围是 ( ) (A )(1-,1) (B )(1-,∞+)(C )(∞-,2-)⋃(0,∞+) (D )(∞-,1-)⋃(1,∞+) 7.已知5()lg ,(2)f x x f ==则( )(A )lg 2 (B )lg32 (C )1lg32 (D )1lg 258.函数sin()(0)y x R ϕϕπϕ=+≤≤=是上的偶函数,则( ) (A )0 (B )4π (C )2π(D )π 9.已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1,则( )(A (B )2 (C 1 (D 1 10.已知圆锥的底面半径为R ,高为3R ,它的内接圆柱的底面半径为34R ,该圆柱的全面积为( ) (A )22R π (B )249R π (C )238R π (D )252R π11.已知长方形的四个顶点A (0,0),B (2,0),C (2,1)和D (0,1),一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后,依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P (入射角等于反射角)若40P P 与重合,则tg θ= ( )(A )31 (B )52 (C )21(D )1 12.一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( ) (A )π3 (B )π4 (C )π33 (D )π62003年普通高等学校招生全国统一考试数 学(文史类)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分把答案填在题中横线上13x <的解集是____________________.14.92)21(xx -的展开式中9x 系数是 ________ .15.在平面几何里,有勾股定理:“设22,,ABC AB AC AB AC BC +=的两边互相垂直则”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥A BCD-的三个侧面ABC ACD ADB 、、两两互相垂直,则______________________________________________.” 16.如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种_______________________(以数字作答)三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤 17.(本小题满分12分)已知正四棱柱111111112ABCD A B C D AB AA E CC F BD -==,,,点为中点,点为点中点(Ⅰ)证明11EF BD CC 为与的公垂线 (Ⅱ)求点1D BDE 到面的距离18.(本小题满分12分)已知复数z 的辐角为︒60,且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项,求||z . 19.(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足1111,3(2).n n n a a a n --==+≥ (Ⅰ)求23,a a ;(Ⅱ)证明2n n a =20.(本小题满分12分)已知函数()2sin (sin cos f x x x x =+(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和最大值;()y f x =在(Ⅱ)在给出的直角坐标系中,画出函数区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象21.(本小题满分12分)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中(cos θθ=方心位于城市O (如图)的东偏南EDBACBD CAFMx向300km 的海面P 处,并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km ,并以10km/h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭? 22.(本小题满分14分) 已知常数0>a ,在矩形ABCD 中,4=AB ,a BC 4=,O 为AB 的中点,点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动,且DA DC CD CF BC BE ==,P 为GE 与OF 的交点(如图),问是否存在两个定点,使P 到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文)参考解答及评分标准说明:一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生物解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定部分的给分,但不得超过该部分正确解答得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分,满分60分.1.C 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.D 8.C 9.C 10.B 11.C 12.A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13.]4,2( 14.221-15.2222BCD ADB ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++ 16.72 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(I )证明:取BD 中点M ,连结MC ,FM ,∵F 为BD 1中点, ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D 又EC=21CC 1,且EC ⊥MC , ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1 又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1⊂面DBD 1,∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线 (II )解:连结ED 1,有V由(I )知EF ⊥面DBD 1,设点D 1到面BDE 的距离为d ,则S △DBC ·d=S △DCD 1·EF. ∵AA 1=2·AB=1.22,2====∴EF ED BE BD 23)2(2321,2222121=⋅⋅==⋅⋅=∴∆∆DBC DBD S S 故点D 1到平面BDE 的距离为332. 18.解:设z=2),60sin 60(cos r z i r 的实邻为则复数+ 2,r z z r z z ==+∴由题设|2||||1|2-⋅=-z z z即||)1)(1(=--z z z 42122+-=+-r r r r r12120122--=-==-+r r r r 解得(舍去) 即|z|=12-19.(I )解∵1343,413,12321=+==+=∴=a a a(II )证明:由已知故,311--=-n n n a a112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.213133321-=++++--n n n所以213-=n n a20.解(I )x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+= )42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x所以函数)(x f 的最小正周期为π,最大值为21+.(Ⅱ)由(Ⅰ)知x83π-8π-8π 83π 85π y121-121+1故函数)(x f y =在区 间]2,2[ππ-上的图象是21.解:如图建立坐标系:以O 为原点,正东方向为x 轴正向. 在时刻:t (h )台风中心),(y x P 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是222)]([)()(t r y y x x ≤-+-,其中10)(=t r t+60,若在t 时,该城市O 受到台风的侵袭,则有,)6010()0()0(222+≤-+-t y x即,)6010()22201027300()2220102300(222+≤⨯+⨯-+⨯-⨯t t t 即0288362≤+-t t , 解得2412≤≤t .答:12小时后该城市开始受到台风气侵袭22.解:根据题设条件,首先求出点P 坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点P 到定点距离的和为定值.按题意有A (-2,0),B (2,0),C (2,4a ),D (-2,4a )设)10(≤≤===k k DADCCD CF BC BE , 由此有E (2,4ak ),F (2-4k ,4a ),G (-2,4a -4ak ).直线OF 的方程为:0)12(2=-+y k ax , ① 直线GE 的方程为:02)12(=-+--a y x k a . ②从①,②消去参数k ,得点P (x ,y )坐标满足方程022222=-+ay y x a , 整理得1)(21222=-+a a y x .当212=a 时,点P 的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时,点P 轨迹为椭圆的一部分,点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当212<a 时,点P 到椭圆两个焦点),21(),,21(22a a a a ---的距离之和为定值2.当212>a 时,点P 到椭圆两个焦点)21021,0(22-+--a a a a ,),(的距离之和为定值a 2.。

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