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2003年江苏高考数学试题


= 0.90, P ( B ) = P (C ) = 0.95 ,
P ( A) = 0.10, P ( B ) = P (C ) = 0.50.
因为事件 A,B,C 相互独立,恰有一件不合格的概率为
P( A ⋅ B ⋅ C ) + P( A ⋅ B ⋅ C ) + P( A ⋅ B ⋅ C ) = P ( A) ⋅ P ( B ) ⋅ P (C ) + P ( A) ⋅ P ( B ) ⋅ P (C ) + P ( A) ⋅ P ( B ) ⋅ P (C ) = 2 × 0.90 × 0.95 × 0.05 + 0.10 × 0.95 × 0.95 = 0.176
x +1 , x ∈ (1, +∞) 的反函数为( x −1

B. y =
ex −1 , x ∈ (0, +∞) ex + 1
ex + 1 , x ∈ (0, +∞) ex −1
ex −1 C. y = x , x ∈ (−∞, 0) e +1
ex + 1 D. y = x , x ∈ (−∞, 0) e −1
依题设0 ≤ ϕ ≤ π , 所以解得ϕ =
π
2
.
3π 3π − x) = − f ( + x), 4 4 3π 3ωπ π 3ωπ + ) = cos 取x = 0, 得f ( ) = sin( , 4 4 2 4 3π 3ωπ π 3ωπ ∴ f ( ) = sin( + ) = cos , 4 4 2 4 3ωπ 3ωπ π ∴ cos = 0, 又ω > 0, 得 = + kπ , k = 1,2,3, , 4 4 2 2 ∴ ω = (2k + 1), k = 0,1,2, . 3 2 2 π π 当k = 0时, ω = , f ( x) = sin( x + )在[0, ]上是减函数; 3 3 2 2 由f ( x)的图象关于点M对称, 得f ( 当k = 1时, ω = 2, f ( x) = sin( 2 x + 当k ≥ 0时, ω =
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19. (本小题满分 12 分)
如图,在直三棱柱 ABC − A1 B1C1 中,底面是等腰直角三角形, ∠ACB = 90° ,侧 棱 AA1 = 2 ,D、E 分别是 CC1 与 A1 B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重 心G (Ⅰ)求 A1 B 与平面 ABD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) (Ⅱ)求点 A1 到平面 AED 的距离
24 7
D.- )
24 7
4.设函数 f ( x) = ⎪ ⎨ A. (-1,1)
⎧2 − x − 1, x ≤ 0, 若f ( x0 ) > 1, 则x0 的取值范围是( 1 2 ⎪ ⎩x , x > 0
B. (−1, +∞)
C. (-∞,-2)∪(0,+∞)
D. (-∞,-1)∪(1,+∞)
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(Ⅱ)求至少有两件不合格的概率 (精确到 0.001)
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18. (本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x ) = sin(ω x + ϕ )(ω > 0, 0 ≤ ϕ ≤ π )是R 上的偶函数,其图象关于点
M(
3π π⎤ , 0) 对称,且在区间 ⎡ 0, ⎥ 上是单调函数 求 ω和ϕ 的值 ⎢ 4 ⎣ 2⎦
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个定点 E、F,使得 PE + PF 为定值 若存在,求出 E、F 的坐标;若不存在,说明理由
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21. (本小题满分 12 分)
已知 a > 0, n 为正整数
n
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(Ⅰ)设 y = ( x − a ) ,证明 y ' = n( x − a )
其中真命题的序号是__________________.(写出所有真命题的序号)
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤
17.(本小题满分 12 分)
有三种产品,合格率分别为 0.90,0.95 和 0.95,各抽取一件进行检验 (Ⅰ)求恰有一件不合格的概率;
2
(不包含边界)为(

b
b
b
O O
b
O
a
O
a
a
a
A.
2
B.
C.
D. ( )
2.抛物线 y = ax 的准线方程是 y = 2 ,则 a 的值为 A.
1 8
π
2
B.-
1 8
C.8
D.-8 ( )
3.已知 x ∈ ( − A.
,0), cos x =
4 , 则tg 2 x = 5
7 24
B.-
7 24
C.
5 . O 是 平 面 上 一 定 点 , A、B、C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足
OP = OA + λ (
A.外心
AB AB
+
AC AC
), λ ∈ [ 0, +∞ ) , 则P 的轨迹一定通过 ABC 的
C.重心 D.垂心
B.内心
6.函数 y = ln
A. y =
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公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验,这三种型号的轿车依次 应抽取___________,__________,___________辆
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15.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如图) 现要栽种 4 种不
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同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不 同的栽种方法有___________________种 (以数字作答)
n n
n −1

(Ⅱ)设 f n ( x) = x − ( x − a ) ,对任意 n ≥ a ,证明 f n +1 '(n + 1) > (n + 1) f n '(n)
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22. (本小题满分 14 分)
设 a > 0 ,如图,已知直线 l : y = ax 及曲线 C : y = x , C 上的点 Q1 的横坐标为
4
( C. 1 2 D.

3 8
,直线 y = x − 1 与其相交于 M、N 10.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( 7 ,0) 两点,MN 中点的横坐标为 −
2 2 A. x − y = 1 3 4
2 ,则此双曲线的方程是 3
x2 y2 − =1 4 3
C.
− =1 5 2
解法二:三件产品都合格的概率为
P( A ⋅ B ⋅ C ) = P( A) ⋅ P( B) ⋅ P(C ) = 0.90 × 0.952 = 0.812
由(Ⅰ)知,恰有一件不合格的概率为 0.176,所以至有两件不合格的概率为
1 − [ P ( A ⋅ B ⋅ C ) + 0.176] = 1 − (0.812 + 0.176) = 0.012.
n 1 时,证明 ∑ ( ak − ak +1 ) ak + 2 < 1 2 32 k =1
(Ⅲ)当 a = 1 时,证明 ∑ ( ak − ak +1 ) ak + 2
k =1
n
1 < 3
y r2 r1 Q1 O
c Q3 Q2
l
a1 a2 a3
x
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2003 年普通高等学校招生全国统一考试
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6 2
5 1 3
4
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16.对于四面体 ABCD,给出下列四个命题 ① 若AB = AC , BD = CD, 则BC ⊥ AD
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② 若AB = CD, AC = BD, 则BC ⊥ AD
③ 若AB ⊥ AC , BD ⊥ CD, 则BC ⊥ AD ④ 若AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, 则BC ⊥ AD
答:至少有两件不合的概率为 0.012. 第 10 页 共 14 页
(18)在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识,以及分析问题和推理计算能力, 满 12 分分。 解:由
f ( x)是偶函数, 得f (− x) = f ( x),
即 sin( −ωx + ϕ ) = sin(ωx + ϕ ), 所以 − cos ϕ sin ωx = cos ϕ sin ωx 对任意x都成立, 且ω > 0, 所以得 cos ϕ = 0.
tg θ 的取值范围是 A. ( 1 ,1)
3


B. (
1 2 , ) 3 3
C. (
2 1 , ) 5 2
D. (2,
5
2 ) 3

一个四面体的所有棱长都为 2 , 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为 ( 12.
A. 3π
B.4 π
C. 3 3π
D. 6π
2003 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
答:恰有一件不合格的概率为 0.176. 解法一:至少有两件不合格的概率为
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