容斥原理知识结构一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．例题精讲【例 1】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 如图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学兴趣小组的人，A 与B 重合的部分C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有281216-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有291217-=(人)．方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745++=(人)．方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人，即：28291245+-=(人)．【答案】45人【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义．如图，A 圆表示学画画的人，B 圆表示学钢琴的人，C 表示既学钢琴又学画画的人，图中A 圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376-=(人)，图中B 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721-=(人)．【答案】21人【例 2】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为1223530+-=(人)．所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是463016-=(人)．【答案】16人【巩固】 四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26221236+-=(人)，所以，两项比赛都没有参加的人数为：45369-=(人)．【答案】9人【例 3】 对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示全班人数，A 圆表示会游泳的人数，B 圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．由图中可以看出，全班人数=至少会一项的人数+两项都不会的人数，至少会一项的人数为：20251035+-=(人)，全班人数为：35944+= (人)．【答案】44人【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，A 圆表示参加象棋比赛的人，B 圆表示参加军棋比赛的人，A 与B 重合的部分表示同时参加两项比赛的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有321814-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有281810-=(人)．由此得到参加棋类比赛的人有14181042++=(人)．或者根据包含排除法直接得：32281842+-=(人)．【答案】42人【例 4】 47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示这47名学生，A 圆表示语文得分95分以上的人数，B 圆表示数学得95分以上的人数，A 与B 重合的部分表示两门都在95分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在95分以上的人数．由图中可以看出，全体人数是至少一门在95分以上的人数与两门都不在95分以上的人数之和，则至少一门在95分以上的人数为：472225-=(人)．根据包含排除法，两门都在95分以上的人数为：14212510+-=(人)．【答案】10人【巩固】 有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【关键词】第二届，迎春杯【解析】 方法一：在100人中懂英语或俄语的有：1001090-=(人)．又因为有75人懂英语，所以只懂俄BA 两门都不在95分以上的数学95分以上的两门95分以上的语文95分以上的语的有：907515-=(人)．从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的8315- 68=(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客．方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：75839068A B A B A B =+-=+-=(人)．【答案】68人【例 5】 一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 不妨用下图来表示：线段AB 表示全班人数，线段AC 表示做完语文作业的人数，线段DB 表示做完数学作业的人数，重叠部分DC 则表示语文、数学都做完的人数．根据题意，做完语文作业的有37人，即37AC =．做完数学作业的有42人，即42DB =．374279AC DB +=+=(人)①48AB =(人) ②①式减②式，就有794831DC =-=(人),所以，数学、语文作业都做完的有31人．【答案】31人【巩固】 四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因423476+=，7663>，所以必有人同时完成了这两项活动．由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，4234+-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)63=．由减法运算法则知，完成两项活动的人数为766313-=(人)．也可画图分析．【答案】13人【例 6】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如图，用A 圆表示手中有红旗的，B 圆表示手中有黄旗的，C 圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：342618943++-++-（）（） 6250⨯=(人)．【答案】50人【巩固】 某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于全班42人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42人．根据包含排除法，4226171994=++-++（）（既爱打篮球又爱打排球的人数0+），得到既爱打篮球又爱打排球的人数为：49427-=(人)．【答案】7人【例 7】 四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设参加数学小组的学生组成集合A ，参加语文小组的学生组成集合B ，参加文艺小组的学生组成C BA集合G ．三者都参加的学生有z 人．有=46，=24，=20，=3.5，=7，=2，=10． 因为，所以46=24+20+7x -10-2x -2x +x ，解得x =3， 即三者的都参加的有3人．那么参加文艺小组的有37=21人．【答案】21人【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数． 【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设参加自然兴趣小组的人组成集合A ，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人组成集合C ．=25，=35，=27，=12， =8，=9， =4.=.所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项．即这个班有62人．【答案】62人【例 8】 在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕．2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问：⑴ 三种都带了的有几人？⑵ 只带了一种的有几个？【考点】三量重叠问题【难度】4星 【题型】解答 A B C A B C A C A B C B C A B C A B A B C A B C A B A C B C A B C =++---+⨯C 语文B 美术A 自然ABC B C A B A C A B C A B C A B C A B A C B C A B C ++---+【解析】 如图，用A 圆表示带汉堡的人，B 圆表示带鸡腿的人，C 圆表示带芝士蛋糕的人．⑴ 根据包含排除法，总人数=（带汉堡的人数+带鸡腿的人数+带芝士蛋糕的人数-）（带汉堡、鸡腿的人数+带汉堡、芝士蛋糕的人数+带鸡腿、芝士蛋糕的人数+）三种都带了的人数，即10664321-++-+++（）（）三种都带了的人数，得三种都带了的人数为：10100-=(人)．⑵ 求只带一种的人数，只需从10人中减去带了两种的人数，即103214-++=（）(人)．只带了一种的有4人．【答案】（1）0人，（2）4人【巩固】 盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要．【考点】三量重叠问题【难度】4星 【题型】解答【解析】 略【答案】根据根据包含排除法，至少要了一种饮料的人数=(要可乐的人数+要雪碧的人数+要橙汁的人数)-(要可乐、雪碧的人数+要可乐、橙汁的人数+要雪碧、橙汁的人数)+三种都要的人数，即至少要了一种饮料的人数为：55532219++-+++=（）（）(人)．1091-=(人)，所以其中有1人这三种饮料都没有要．【例 9】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B+圆面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三BA CCBA10个纸片共同重叠的面积，得：100505050A =++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+），得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=⨯+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．【答案】30平方厘米【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ． =30，=6，=8，=5，=73， 而=. 有73=30×3-6-8-5+，即=2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 10】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸重叠部分是被计算了三次．所以三张纸重叠部分的面积60310040220=⨯--÷=（）(平方厘米)．【答案】20平方厘米【巩固】 如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，A B C ==A B B C A C A B C A B C A B C +--A B B C A C A B C --+AB C A B C露在外面的总面积为38．若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3．求A 与C 公共部分的面积是多少？【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设A 与C 公共部分的面积为x ，由包含与排除原理可得：⑴ 先“包含”：把图形A 、B 、C 的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑵ 再“排除”：5687x ---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回． ⑶ 再“包含”：56873x ---+，这就是三张纸片覆盖的面积．根据上面的分析得：5687338x ---+=，解得：6x =．【答案】6【例 11】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1～1000之间，5的倍数有=200个，7的倍数有=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有=28个． 所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．【答案】686【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 记 A ：1～100中3的倍数，1003331÷=，有33个； B ：1～100中7的倍数，1007142÷=，有14个；A B ：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，10021416÷=，有4个． 依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有3314443+-=个，则能被3或7整除的数的个数为43个.10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】43【例 12】 某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 （法1）首先看至少有多少人会游泳、自行车两项，由于会游泳的有27人，会骑自行车的有33人，而总人数为48人，在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下，两项都会的学生至少有27334812+-=人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数，至少有1240484+-=人. 该情况可以用线段图来构造和示意：（法2）设三项运动都会的人有x 人，只会两项的有y 人，只会一项的有z 人，那么根据在统计中会n 项运动的学生被统计n 次的规律有以下等式：3227334048,,0x y z x y z x y z ++=++⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩由第一条方程可得到10032z x y =--，将其代入第二条式子得到：100248x y --≤，即252x y +≥①而第二条式子还能得到式子48x y +≤，即248x y x+≤+② 联立①和②得到4852x +≥，即4x ≥．可行情况构造同上．【答案】4【巩固】 某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有 人．【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 根据题意可知，该班参加竞赛的共有28232071++=人次．由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次．要求参加两科的人数最多，则让这71人次尽可能多地重复，而712351÷=，所以至多有35人参加两科，此时还有1人参加1科．那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人是只参加一科的，假设这个人只参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(282220)215+-÷=人，参加语文、英语两科的共有281513-=人，参加数学、英语两科的共有20137-=人．也就是说，此时全班有15人参加语文、数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语两科，1人只参加数学1科，还有14人不参加．检验可知符合题设条件．所以35人是可以达到的，则参加两科的最多有35人．（当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）【答案】35课堂检测【随练1】 四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人．⑴ 问语文数学都写完的有多少人？⑵ 只写完语文作业的有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴ 由题意，有48642-=(人)至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：3020428+-=(人)．⑵ 只写完语文作业的人数=写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即30822-=(人)．【答案】22人【随练2】 光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据包含排除法，先把参加围棋比赛的42人，参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人加起来，共是425533130++=人．把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：130********-+++=（）(人)．或者根据学过的公式：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+，参加棋类比赛的总人数为：42553318109598++---+=(人)．【答案】98人【随练3】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星【题型】解答【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】140平方厘米家庭作业【作业1】 四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有 人。