利用级数计算Pi
加速效果非常明显！
2019/12/4
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蒙特卡罗（Monte Carlo）法
单位圆的面积等于Pi，使用蒙特卡罗法， 即用随机投点的方法来求出这个面积Pi的近 似值。具体方法如下：
在平面直角坐标系中，以O(0,0)， A(1,0)，C(1,1)，B(0,1)为四个顶点作一个正 方形，其面积S＝1。以原点O为圆心的单位 圆在这个正方形内的部分是圆心角为直角 的扇形，面积为S1＝Pi/4。
实验目的
在本次试验中，我们将追溯关
于圆周率 的计算历程。通过对割
圆术、韦达公式、级数加速法、迭 代法等计算方法的介绍和计算体验， 感受数学思想和数学方法的发展过 程，提高对极限和级数收敛性及收 敛速度的综合认识，同时使我们看 到数学家对科学真理的永无止境的 追求。
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主要内容
一、割圆术 二、韦达(VieTa)公式 三、数值积分方法 四、利用级数计算 五、蒙特卡罗(Monte Carlo)法 六、拉马努金(Ramanujan)公式
令yi f (xi )
Si

1 n
( yi1

4
y i
1
2

yi )
S

1 6n
[(
y0

n1
yn ) 2
i 1
yi
n
4
i 1
y i

1
]
2
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利用级数计算Pi
1、莱布尼茨级数（1674年发现）
(1)k
4 k 0 2k 1
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迭代公式
迭代公式2：
1996年，Baiey发现了另一个收敛于1/pi的迭代公式：
y0 5(
5

2) , cn

(2
5 )2 yn1
dn

(
5 yn1
1) , en

dn (
(7

cn )2

3d
3 n

7

cn )
yn

yn1(1 dn 5
x tan α 1 , arctan1
5
5
tan 2

1
2
tan tan2

1
2
x x
2
5 12
tan 4
2 tan 2 1 tan2 2
120 119
1
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利用级数计算Pi
因此，β＝4α－pi/4非常接近0。
π值——算法美的追求
π作为圆周率的符号，是由著名数学家Euler 于公元1737年首先使用的。古代的希伯来人，在 描述所罗门庙宇中的“熔池”时曾经这样写道：
“池为圆形，对径为十腕尺，池高为五腕尺，其
周长为三十腕尺。”可见，古希伯来人认为圆周 率等于3。不过，那时的建筑师们，似乎没有人不 明白，圆周长与直径的比要比3大一些。
b(i)=3*2^(i-2)*a(i);
c(i)=2*b(i)-b(i-1);
end
n=[3,6,12,24,48,96];
size(b)
result=[n;a;b;c] result’
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刘徽不等式
ans = 3.0000 1.7321 2.5981 0 6.0000 1.0000 3.0000 3.4019 12.0000 0.5176 3.1058 3.2117 24.0000 0.2611 3.1326 3.1594 48.0000 0.1308 3.1394 3.1461 96.0000 0.0654 3.1410 3.1427
cos 1
4 2
2 1 2
2 2
2
2
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韦达（VieTa）公式
3、使用VieTa公式计算Pi的近似值
思考：
如何利用韦达公式构造 出一种迭代算法？
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数值积分法计算Pi
定积分
1
0
4 1 x2
dx


计算出这个积分的数值，也就得到了Pi 的值。
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蒙特卡罗（Monte Carlo）法
在这个正方形内随机地投入n个点，设 其中有m个点落在单位扇形内。则

m S1 , 4m
nS4
n
随机投点如何来实现？
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蒲丰（Buffon）掷针实验
另一种用蒙特卡罗法来计算Pi的方法是 1777年法国数学家蒲丰（Buffon）提出的随 机掷针实验。其步骤如下：
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拉马努金（Ramanujan)公式
1985年，数学家比尔.高斯帕依使用这 个公式在计算机上算出了pi的1750万位小数。 这个神奇的公式归功于印度年轻的传奇数 学家拉马努金(Ramanujan,1887-1929).
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ห้องสมุดไป่ตู้
拉马努金（Ramanujan)公式
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割圆术的意义
刘徽创立的割圆术，其意义不仅在 于计算出了Pi的近似值，而且还在于提 供了一种研究数学的方法。这种方法相 当于今天的“求积分”，后者经16世纪 英国的牛顿和德国的莱布尼茨作系统总 结而得名。鉴于刘徽的巨大贡献，所以 不少书上把他称做“中国数学史上的牛 顿”，并把他所创造的割圆术称为“徽 术”。
实验指导
π是使人们最经常使用的 数学常数。人们对π的研究已经 持续了2500多年。在今天，这种 探索还在继续……
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实验指导
世界上数学家们一致公认： “历史上一个国家计算圆周率的准 确度，可以作为衡量这个国家当时 数学水平的一个标志。”
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arctan x (1)k x2k1 k0 2k 1 取x＝1时，可得
＝ (1)k
4 k0 2k 1
即为莱布尼茨级数，直接使用时收敛速 度极慢，必须考虑加速算法。
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利用级数计算Pi
观察级数可知，x的值越接近于0，级 数收敛越快。由此可以考虑令
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利用级数计算Pi
2、欧拉的两个级数（1748年发现）
2 1
6 k 1 k 2
2
8


1
k0 (2k 1)2
这两个级数收敛也非常缓慢，计算时实 用价值不大。
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利用级数计算Pi
3、基于arctan x的级数 对泰勒级数
an
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结束语
随着计算机技术的飞速发展计算方法的突破 与创新，计算Pi的世界纪录正在迅速地被刷新。目 前，Pi的数值已计算到小数点后2061.5843亿位。 这一记录是日本东京大学教授金田康正和他的助 手于1999年9月创造的。计算用了37h 21min，检验 用了46h 7min.虽然这样高的精确度已经没有太多 的实际意义。但这反映了现代数学科学的日新月 异，反映了人类智慧向极限的挑战。
圆面积S与多边形的面积Sn之间有如下关系：
S2n S 2S2n Sn
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刘徽不等式
借助于计算机来完成刘徽的工作：
a(1)=sqrt(3);b(1)=3*sqrt(3)/2;
for i=2:6
a(i)=sqrt(2-sqrt(4-a(i-1)^2));
魏晋间刘徽由圆内接正六边形依次倍增到正 192边形，计算周长与直径之比，得
3.141024< π<3.142704 实际应用时取3.14，或分数值157/50。
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“割圆术”中学问多
他的割圆术已含有无限逼近的极限思想，这 是比求π值更可宝贵的。从方法上说，他得到了重 要的“刘徽不等式”。
公元前3世纪古希腊大数学家阿基米德求出了 223/71<π <22/7。
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“割圆术”中学问多
我国2000多年前的《周髀算经》称“周三径 一”，这是π的第一个近似值，叫做“古率”。
据说，汉代大科学家、文学家张衡，有“圆 周率一十之面”的推算。清代李潢考证这句话意 思为π≈sqrt(10)。
另一个经过改进的计算公式为：
1


12 640320
3 2
(1)n (6n)! 13591409 545140134
n0 (n!)3 (3n)!
640320 3n
n
级数每增加一项，可提高14位小数的 精度。
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迭代公式
迭代公式1： 1989年，BorWein发现了下列收敛于1/pi的 迭代公式：y0 2 1
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利用级数计算Pi
1844年，数学家达什在没有计算机 的情况下利用此式算出了Pi的前200位小 数。使用误差估计式
r(n) n (1)k 1
4 k0 2k 1 2n 1