时间褶积定理
设时间函数 f1(t)和 f2 (t) 的傅里叶变换为 F1()和 F2 ()
f1(t) 和 f2 (t) 的褶积为
f (t)
，则
f
(t
)
的傅里叶变 换
等 F () 于
F1 ( )
和 F2 ()
的乘积。即若有 ，
f1(t) F1() f2 (t) F2 ()
则有
f1( ) f2 (t )d F1()F2 ()
根据线性定理和时移定理，有
F 2sin T (ei2T ei2T ) 4sin T cos 2T
pT
t
2T
pT
t
2T
4 sin T
cos
2T
(4)三角形函数 qT t
t
qT
(t)
1
T
,
0,
t T t T
qT
(t)
4
sin2 (T 2T
/
2)
（5）函数 sin2 at
at2
sin2 at
强震动观测数据处理分析的 基础知识
周雍年 2013.11
1 傅里叶变换 2 连续函数的数字化 3 强震动观测记录常规处理
强震动记录分析
时域
峰值 持续时间
频域
傅里叶譜 振幅谱 相位谱
反应谱
1 傅里叶变换
1.1 连续函数的傅里叶变换
1. 1.1 傅里叶变换的定义
设 f t 是实自变量 t 的非周期函数，若积分
at 2
q2
a
(
)
（6）单位脉冲函数 单位脉冲函数定义为
(t) 0, 当 t 0 时，且有
(t)dt 1
所以有 (t) 1
由对称性，有
12 ()
（7）等距脉冲系列
S (t) (t n) n
它的傅里叶变换也是等距脉冲系列，即
S (t) 0S0 () 0 ( n0 )
0
2
n
一些函数的变换对
(t t0 ) eit0
12 ()
ei0t 2 ( 0 )
cos0t ( 0) ( 0)
sin0t i ( 0) ( 0)
1.1.4 褶积定理
给定两个函数 f1(t) 和 f2 (t)，则称下述积分式为函数 f1(t)和 f2 (t) 的褶积
f (t) f1( ) f2 (t )d
若 f tF 则共轭函数f t 的傅里叶变换为 F
即
f tF
（9）矩定理
若 f tF ，定义 f t的 n 阶矩 mn 为
mn
tn f t dt
（ n =0，1，2，…）
则矩定理可表示为
i n
mn
d nF
d n
0
（ n =0，1，2，…）
1.1.3 一些常用函数的傅里叶变换
f1(t) f2 (t) F1()F2 ()
频率褶积定理
设时间函数 f1(t)和 f2 (t) 的傅里叶变换为F1()和F2 () ，则 f1(t) 和
f2 (t)
乘积的傅里叶变换等于F1 ( )
和F2 ()褶积的
1
2
倍。即若有
f1(t) F1() f2 (t) F2 ()
则有
f1(t)
F ( k 2 )
i( k 2 )n
f (n)e
n
f (n)einei2nk
n
f (n)ein
n
F()
无限多个序列的离散傅里叶变换(即离散傅里叶谱)是一
个在频率域上以 2 为周期的周期函数
1.2.1 无限多个离散序列的傅里叶变换（DFT）
设有无限多个离散时间序列，序列间隔为 ，即
f (n) （ n 0, 1, 2,, N,)
则称
F ()
f (n)ein
n
为时间序列 f (n) 的离散傅里叶变换
离散傅里叶反变换（IDFT）
f (n) 1
2
F ()eind
2 0
如果变量 增加一个值 2 k ，k 0, 1, 2,, 便有
F f t eitdt
对参数的任何实数值都存在，则称 F 是 f t 的傅里叶变换。
F R iX Aei
A() F() R2() X 2() 函数 f t 的傅里叶谱（振幅谱）
() arctan X () R()
函数 f t 的相位谱
傅里叶变换 傅里叶反变换 傅里叶变换对ຫໍສະໝຸດ f2(t)
1
2
F1( )F2 ( )d
f1 (t )
f
2
(t
)
1
2
F1() F2 ()
褶积的导数
若有 则有
f1(t) F1()
， f2 (t) F2 ()
f1(t) f2 (t) f1(t) f2 (t) f1(t) f2(t) iF1() F2 ()
1.2 离散域上的傅里叶变换
n1
n1
（2）对称性
若 f tF ，则有
F t2 f
（3）相似定理
若
，
f tF
a 为一实常数，则
f
at
1 a
F
a
当信号的时间坐标放大（缩小）a 倍时，
相应谱的频率坐标将缩小（放大）同一倍数
（4）时移定理
若 f tF ，t0 为一常数，则有
f t t0 F eit0 A eit0
f (t) f1(t) f2 (t)
褶积具有以下性质：
（1） f1(t) f2 (t) f2 (t) f1(t) （2）若 f1(t)和 f2 (t) 均为正函数，则其褶积也为正函数。
（3）若当t T1 时 f1(t) 0 ，t T2 时f2 (t) 0 ，则当 t T1 T2 时， f1(t) f2 (t) 0
时间坐标的起点选择不影响其振幅谱，而相位谱增加一 个线性项。 （5）频移定理
若 f tF ， 0 为一实常数，则有
f t ei0t F 0
（6）导数定理
若 f tF ，则有
d
n f t
dt n
i
n
F
it n
f
t
d
nF
d n
（7）积分定理
若 f tF ，则有
t
f
d
F
i
（8）共轭函数
F f t eitdt
f t 1 F eitd
2
f tF
1.1.2 傅里叶变换的基本性质
（1）线性叠加原理
若 f1 tF1 ， f2 t F2 ， a1 、a2 为任意常数，则
a1 f1 t a2 f2 t a1F1 a2F2
可以推广到任意有限函数之和,即
m
m
an fn (t) an Fn ()
（1）矩形函数 f t pT t
1,
t T
pT (t) 0,
t T
傅里叶变换为
F
pT
t
eitdt
T eitdt 2sin T
T
pT
t
2
sin T
（2）傅里叶核 sin at
t
由对称性定理, 有
sin
at t
Pa
（3）函数 f t pT t 2T pT t 2T