高等等离子体物理（一）线性理论（研究生教材）王晓钢北京大学物理学院2009年2月等离子体的流体理论1. 等离子体的流体描述1.1 等离子体的双流体模型1.2Hall磁流体（Hall-MHD）模型1.3 电子磁流体（E-MHD）模型1.4 理想磁流体力学（MHD）方程组1.5 位力定理1.6 变分原理2. 理想磁流体平衡2.1 磁场与磁面2.2 Z-箍缩与 -箍缩2.3 一维平衡与螺旋箍缩2.4 Grad-Shafrano方程3. 等离子体的理想磁流体稳定性3.1 能量原理3.2扭曲模与交换模3.3 一维稳定性，直柱托卡马克4. 磁流体力学波4.1 线性磁流体（MHD）方程4.2 非磁化等离子体中的磁流体波4.3 磁化等离子体中的磁流体波5. 均匀等离子体中的波（双流体理论）5.1 双流体模型5.2 介电张量与色散关系5.3 静电波简介5.4 准静电波与准电磁波5.4 电磁波简介1. 等离子体的流体描述1.1 等离子体的双流体模型等离子体是由大量带电粒子组成的物质状态。

一般意义上的等离子体由带正电的离子和带负电的电子组成。

由于带电粒子之间的Coulomb 长程相互作用，等离子体呈整体电中性，即总的正电荷与负电荷相等。

因此，除特殊的非中性（一般是强耦合的）等离子体之外，我们可以用带负电的电子流体和带正电的离子流体组成的“双流体”模型来描述等离子体的宏观行为。

这种近似牵涉到等离子体时空尺度的讨论，我们在后面将进一步详细论述。

基于流体力学的图像及其近似，或者从统计物理的分布函数及其满足的方程（如Vlasov 方程或者Fokker-Planck 方程等，取决与碰撞项的形式，这里用类Markov 过程的碰撞项00()/()f f f f τν-≡-）出发，我们得到“双流体”方程组： 连续性方程（统计方程的零阶矩）()0n n t ααα∂+∇⋅=∂u ， (I-01) 动量方程（力平衡方程，统计方程的一阶矩）n m t ααααα∂⎛⎫+⋅∇= ⎪∂⎝⎭u u u p n q n m c αααααβαααβν⨯⎡⎤=-∇++-⎢⎥⎣⎦∑u B E u ， (I-02)状态方程（对统计方程各阶矩的“不封闭链”（Hierarchy ）的一种截断）p p p tαααααγ∂+⋅∇=-∇⋅∂u u ； (I-03) Coulomb 定律（Poisson 方程）4n q αααπ∇⋅=∑E ，(I-04)Ampere 定律4141n q c c t c c t ααααππ∂∂⎛⎫⎛⎫∇⨯=+≡+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∑E E B J u ， (I-05)Gaussion 定理0∇⋅=B ，(I-06)Fayraday 定律 1c t ∂∇⨯=-∂B E ； (I-07) 这里,i e α=；对α类粒子来说：n α是粒子数密度，m α是粒子质量，q α是粒子电荷，αu 是流体速度，p n T ααα=是理想气体近似下的分压强；而αβν是α类与β类粒子之间的碰撞频率（当αβ=时为自碰撞）。

E ，B ，J 则分别是电场强度、磁感应强度、和等离子体电流密度。

关于状态方程，我们以后会进一步讨论。

这里我们只是指出：参数γ的取值决定等离子体的状态，如等温（isothermal ）状态对应 1γ=；不可压缩状态对应γ→∞；其它的γ值对应“绝热”状态。

1.2 Hall 磁流体（Hall-MHD ）模型一般来说，双流体模型是描述等离子体宏观（大于粒子回旋半径的尺度）运动的有力工具；在高频波段也可以应用，甚至在回旋半径的尺度上也可以得到一些有用的结果。

但是，由于电子与离子质量之间超过三个数量级的差别，在具体计算双流体模型的时候，会遇到所谓“刚性”问题：即电子已经完全改变了运动状态，离子还基本没有动！这使得我们在计算离子时空尺度下的物理问题时，耗费大量的计算机时间。

而且由于code 本身的精度，即使经过长时间运算看到了离子的运动，其结果或者是看到了很强的数值不稳定性、或者是很难令人相信。

而为了稳定code 引进的数值耗散，则往往带来人为的非物理的效应。

即使对纯理论的解析推导，不仅过程繁杂，而且得到的物理图像也不清晰。

所以我们经常引进进一步的近似。

因为离子运动的时间尺度远远长于电子的时间尺度（通常在40倍以上，对于回旋运动来说则可以大于1840倍），所以我们在主要考虑离子运动时，可以认为电子响应是“瞬时”的（instantaneously or simultaneously ）。

这样，我们可以保持其它方程不变，近似地把（I-02）中电子的质量趋于零，得到：e e e e e p n e c n e η⨯∇+=--u B E u ， (I-02e)这里24/e pe ηπνω≡是所谓的“Spitzer 电阻”。

利用在“准电中性”近似i e n n ≈下，/e i e n e =-u u J ，i i e e e e n e n e n e =-≈-J u u u 是等离子体电流，这个方程可以写为： ()i e e i i e e e e p p n e c n ec n e n ec n eηη⨯∇∇⨯⨯+=-+-≈-+u B J B J B E J u J 。

必须注意到：这里我们还用到了e i >>u u 的条件。

明显地，e i >>u u 要求电子运动与离子运动的分离，即所谓Hall 效应。

所以我们称这个近似模型为Hall 磁流体模型；这个方程则称为Hall 磁流体的广义欧姆定律（Hall MHD Generalized Ohm’s Law ）。

方程中的/e n ec ⨯J B 明显地就是我们在电磁学课程里熟知的Hall 电场项。

1.3 电子磁流体（E-MHD ）模型而另一方面，我们在主要考虑电子运动时，可以认为离子响应是“无穷慢”的，或者说离子可以看成是保持总体电中性的“背景”。

或者说，把离子看成是“稳态”的（/0t ∂∂=，但是可以有0i ≠u ）。

将/0t ∂∂=的近似带入离子的方程，得到的是所谓电子磁流体（Electron MHD ）模型。

这个模型也是在电子和离子的运动分离的情况下得到的，适用于比Hall MHD 模型更小的空间尺度和更快的时间尺度的问题。

1.4 理想磁流体（MHD ）方程组如果不仅整体等离子体呈电中性，而且在非常小的局部也呈电中性，我们可以把这个局部取做流体元，则有e i n n n ==。

上面（I-04）的右边等于零，而（I-02）的不同电荷粒子方程相加可以消去小尺度下（即流体元）的电场。

这样可以在很多情况下使问题得到简化。

这个图像，我们称为磁流体（magnetohydrodynamics, MHD ）近似（或称“磁流体力学”近似）。

在这个近似下，宏观的“大尺度”电场满足的方程可以由（I-02）两式之差（得到的Ohm 定律）来计算。

这一节里，我们详细讨论这一近似。

等离子体过程的时空尺度研究物理问题时首要的是讨论时空尺度。

经典的宏观（大空间尺度）、低速（慢时间尺度）下的牛顿力学与相对论（快时间尺度）、量子力学（小空间尺度）的适用范围就是典型例子。

在等离子体中存在着很多的运动模式，我们无法、也没有必要同时考虑所有这些运动模式。

那么哪一种（或者几种）运动模式是主导的、起着决定作用的？要回答这个问题，就要进行时空尺度分析：我们关心的是哪个时空尺度下的物理问题，在这个时空尺度下存在哪几种运动模式？所以，对于等离子体这样的存在大量运动模式的连续介质来说，时空尺度分析尤其重要。

磁流体（MHD ）理论的基本假设磁流体理论本质上来说是一种与流体力学相类似的连续介质的理论。

因为考虑宏观的大尺度问题，其特征长度H L （或0L ）一般可以看成是所研究等离子体区域的大小，比如柱形等离子体的横截面（的半径）。

而特征时间尺度H τ（或者特征频率~1/H H ωτ）则可以用一个特征信号穿越这一尺度的时间来表征。

这等于特征尺度H L 与特征信号在等离子体这一介质中传播的速度之比。

在流体理论里，这显然是声速()1/2/s m c p γρ=，这里m ρ是质量密度。

但是在磁化等离子体中，对于大尺度的MHD 问题来说，这一特征速度是所谓Alfvén 速度()1/2/4A m V B πρ≡。

当然，如果所研究的等离子体可以看成是一个驱动（driven ）系统，那么其特征时间尺度应该由驱动频率给出。

磁流体（MHD ）理论基于下列假设：* 非相对论假设： /~/~H H typical k L V c ωτ<< 01→∂∂⇒tc E * 流体假设：1）局域热力学平衡（局域Maxwellian 分布）假设： ~ii H H τωτ<<（要求较高碰撞频率：压强是标量，0→Π）；2）忽略有限Larmor 半径（FLR ）效应：ce ci H Ω<<Ω<<ω，//1e H i H L L ρρ<<<<;3）单流体（准电中性）假设（即Debye 球内有大量粒子，也称等离子体假设）：1/3n -<<D H L λ<<，H pe ωω<<，0n q ααα⇒→∑。

我们会发现，局域Maxwellian 分布的假设对于“无碰撞”理想（ideal ）等离子体（其平均自由时间,,ee ii ei H ττττ>>）来说的不是一个好的假设。

我们需要进一步讨论：1） 粒子间“碰撞”（collision ）和关联（correlation ）之间的关系，以及长程碰撞的“集体”（collective ）效应和短程碰撞之间的关系；2） 以及导向中心理论的回旋动理学（gyrokinetic ）和漂移动理学（drift-kinetic ）近似。

磁流体（MHD ）方程组如果我们利用e i n n n ==，定义小的等离子体元的“单流体”物理量：质量密度：()m i e i n m m nm ρ≡+≈，流体速度i i i e e e e i e i i i e e in m n m m n m n m m +==+≈+u u u u u u ，等离子体压强()e i p n T T =+，等离子体电流()i e ne =-J u u ，将（I-01）、（I-02）分别对不同电荷分量求和得到连续性方程()0n n t ∂+∇⋅=∂u ， (I-08) 动量方程（并利用Ampere 定律）()4i nm p p t c π∂⨯∇⨯⨯⎛⎫+⋅∇=-∇+=-∇+ ⎪∂⎝⎭u J B B B u u 。

(I-09)而电子的动量方程（I-02）（e α=时）可以写成e c ⨯+=u B E e e e e e e e p m m ne e e t αν∇∂⎛⎫---+⋅∇ ⎪∂⎝⎭u u u u ， 这里e ν包括了电子自碰撞ee ν及电子—离子碰撞ei ν；或者c ⨯+=u B E 2e ee p m nec ne ne t η∇⨯∂⎛⎫-+++⋅∇ ⎪∂⎝⎭J B J u J e ee e m m e e t ν∂⎛⎫--+⋅∇ ⎪∂⎝⎭u u u 。