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等离子体物理基础期末考试含答案

版权所有,违者必究!!中文版低温等离子体作业一. 氩等离子体密度103210n cm -=⨯, 电子温度 1.0e T eV =, 离子温度0.026i T eV =, 存在恒定均匀磁场B = 800 Gauss, 求 (1) 德拜半径;(2) 电子等离子体频率和离子等离子体频率; (3) 电子回旋频率和离子回旋频率; (4) 电子回旋半径和离子回旋半径。

解:1、1/2302()8.310()e iD e i T T mm T T neελ-==⨯+, 2、氩原子量为40,221/21/200()8.0,()29pe pi e ine ne GHz MHz m m ωωεε====,3、14,0.19e i e ieB eB GHz MHz m m Ω==Ω== 4、设粒子运动与磁场垂直24.210, 1.3e e i i ce ci m v m v r mm r mm qB qB -===⨯===二、一个长度为2L 的柱对称磁镜约束装置,沿轴线磁场分布为220()(1/)B z B z L =+,并满足空间缓变条件。

求:(1)带电粒子能被约束住需满足的条件。

(2)估计逃逸粒子占全部粒子的比例。

解:1、由B(z)分布,可以求出02m B B =,由磁矩守恒得22001122m mmv mv B B ⊥⊥=,即0m v ⊥⊥= (1) 当粒子能被约束时,由粒子能量守恒有0m v v ⊥≥,因此带电粒子能被约束住的条件是在磁镜中央,粒子速度满足002v v ⊥≥2、逃逸粒子百分比201sin 129.3%2P d d πθϕθθπ===⎰⎰ (2)三、 在高频电场0cos E E t ω=中,仅考虑电子与中性粒子的弹性碰撞,并且碰撞频率/t t ea ea v νλ=正比于速度。

求电子的速度分布函数,电子平均动能,并说明当t ea ων>>时,电子遵守麦克斯韦尔分布。

解:课件6.6节。

电子分布函数满足2200010220011cos 1()(())(1.1)32cos (1.2)t a ea e a t ea e f eE t T f v f v vf t m v v v v m v eE t f f f tm v ωκνων∂∂∂∂⎧-=+⎪∂∂∂∂⎪⎨∂∂⎪-=-⎪∂∂⎩因为0f 的弛豫时间远远大于1f 的弛豫时间,因此近似认为0f 不随时间改变,1f 具有ω的频率,即111120 (2.1)(,)()cos ()sin (2.2)f t f v t f v t f v t ωω∂⎧=⎪∂⎨⎪=+⎩(2.2)代入(1.2)中,得0011121112()cos ()sin cos ttea ea e eE df f f t f f t t m dvωνωωνωω+--= (3)对比cos t ω和sin t ω的系数,(3)解得000011122222,()()tea t t e ea e ea eE df eE df f f m dv m dvνωωνων==++ (4) (4)代入(1.1)得2222000222222((1cos 2)()sin 2())6t ea t t e ea ea e E v df df d d v t t m v dv dv dv dvνωωωωνων-++++ 20021(())2t a ea a T f v vf v v m vκν∂∂=+∂∂ (5) 对(5)求时间平均得22220000222221()(())62t t ea a ea t e ea a e E v df T f d v vf m v dv dv v v m v νκνων∂∂-=++∂∂ (6) 引入有效电场2220222()t eaefft ea E E νων=+代入(6)得 222200021()(())32eff t a ea t e ea a e E v df T f d v vf dv m dv v m vκνν∂∂-=+∂∂ (7)对(7)两端积分,得2200022203eff a t e ea a e E df T f vf m dv m vνκ∂++=∂ (8) 所以电子分布函数为 0222200exp()/3()ve t ae ea m vdvf A T e E m κων=-++⎰ (9) 其中A 为归一化系数,电子动能为4002()e e K m f v v dv π∞=⎰(10)当tea ων>>时,0222200exp()/3()ve t ae ea m vdvf A T e E m κων=-++⎰ 22200exp()/3ve ae m vdvA T e E m κω≈-+⎰222/23/202()e ,23e e m v T e e a e e m e E T T T m πκω-==+ (11) 为麦克斯韦分布。

四、设一长柱形放电室,放电由轴向电场维持,有均匀磁场沿着柱轴方向,求:(1)径向双极性电场和双极扩散系数;(2)电子和离子扩散系数相等时,磁场满足的条件; (3)当磁场满足什么条件时,双极性电场指向柱轴。

解:课件8.5节。

1、粒子定向速度u 满足 nu E D nμ⊥⊥⊥∇=- (1) 其中/c eB m ω=,211(/)c m m e m μωνν⊥=+,211(/)c m mTD m ωνν⊥=+。

双极性扩散中,电子密度等于离子密度,电子通量等于离子通量,根据(1),因此径向方向上有i i i i i nu nE D n μ⊥⊥⊥Γ==-∇e e e e e nE D n nu μ⊥⊥⊥=--∇==Γ (2) 解方程(2)得径向双极性电场i e i e D D nE nμμ⊥⊥⊥⊥-∇=+ (3)代入(2)得到e i i ei eD D n μμμμ⊥⊥⊥⊥⊥⊥+Γ=-∇+ (4)因此径向双极扩散系数为e i i ea i eD D D μμμμ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥+=+。

2、电子和离子扩散系数分别为 211(/)i i i i i i T D m eB m νν⊥=+ 211(/)e e e e e e T D m eB m νν⊥==+ (5)解方程(5)得22()i i e e e i i i e e i i i e e em m T m T m e B m T m T νννννν-=- (6)注意到i e m m >>,因此磁场满足22i i e e eim m T B e T νν=。

3、双极性电场指向柱轴等价于22222222222222220i i i e e ei ei i e e i i e ei ei i e e T m T m D D m e B m e B n nE em em n n m e B m e B ννννννμμνν⊥⊥⊥⊥⊥--++∇∇==<++++ (7)当考虑,,i e e i i i e e m m T T T m T m >>>>>>时,(7)简化为2222i i e e e i i i m m T e B T m ννν< (8)(8)成立即双极性电场指向柱轴的条件是22i i e e eim m T B e T νν>。

五、如果温度梯度效应不能忽略, 推导无磁场时双极扩散系数和双极性电场。

解:粒子运动方程0m qnE p mn u ν-∇-= (1) 若等离子体温度有梯度,即p T n n T ∇=∇+∇,有m m m q T n T T u E m m n m Tννν∇∇=-- (2) 即/nu nE D n Dn T T μΓ==-∇-∇ (3) 其中,m mq TD m m μνν==。

双极性扩散中,电子密度等于离子密度,电子通量等于离子通量,因此有//i i i i e e e e nE D n D n T T nE D n D n T T μμΓ=-∇-∇=--∇-∇=Γ (4) 由方程(4)解得双极性电场满足 i e i e i e i e D D D D n TE n Tμμμμ--∇∇=+++ (5)将(5)带入(4),得 /e i i e e i i ei e i e i eD D D D n n T T μμμμμμμμ++Γ=Γ=-∇-∇++ (6)因此双极性扩散系数为e i i ea i eD D D μμμμ+=+。

六、推导出无碰撞鞘层Child 定律和玻姆鞘层判据。

解:课件9.1节。

在无碰撞鞘层中作如下假设:电子具有麦克斯韦分布;离子温度为0K ;等离子体-鞘层边界处坐标为0,电场电势为0,此处电子离子密度相等,离子速度为s u 。

根据粒子能量守恒得221122s Mu Mu e φ=- (1) 根据粒子通量守恒得i s s n u n u = (2) 解得,1/222(1)i s se n n Mu -Φ=-。

电子满足玻尔兹曼分布/e T e s n n e Φ=,带入泊松方程得 2/1/22201((1/)),2T s s s s en d e eE Mu dx εΦ-Φ=--ΦE = (3) 上式两端乘d dx Φ并对x 积分,注意有00|0,|0x x d dx==ΦΦ==,得/1/2()((1/))T s s en d d d d dx e dx dx dx dx dx εΦ-ΦΦΦ=--ΦE ⎰⎰2/1/201()(2(1/)2)2T s s s s en d Te T E E dx εΦΦ=-+-ΦE - (4) (4)要保证右端为正,当||0Φ>>时显然成立。

当||Φ较小时,对其线形展开得,22221124se e T E ΦΦ≥化简得玻姆鞘层判据1/2()s B eT u u M≥=。

当阴极鞘层的负偏压较大时,/0eT e s n n e Φ=≈,s E <<Φ,此时(4)近似等于21/21/2012()2()()2s s en u d e dx Mε-Φ=-Φ (5) 记0s s J en u =,(5)两边开方再积分,注意边界条件00|0,|0x x d dx==ΦΦ==得 3/41/21/40032()()()2J e x Mε--Φ=(6) (6)中带入边界条件0()s V Φ=-,化简得无碰撞鞘层Child 定律3/21/2000242()9V e J M s ε=七、设一无碰撞朗谬尔鞘层厚度为S ,电压为V ,证明:一个初始能量为零的离子穿过鞘层到达极板所需时间为03/t s v =,这里1/20(2/)v eV m =。

解:朗缪尔鞘层中电势的分布为 3/41/21/4032()()2J e x mε---Φ=(1) Child 定律为3/21/20242()9e V J m sε=,带入(1)得鞘层电势分布满足 4/3()xV sΦ=- (2)由粒子能量守恒得212mv e =-Φ (3) 带入得(2),化简得2/30()dx xv v dt s== (4) 对于方程(4)将含x 项移到左边,两边乘dt 再积分,注意到初始条件0|0t x ==,得2/31/33s x t v = (5) 当粒子到达极板时,有x s =,带入(5)得03/t s v =八、 一个截面为正方形(边长为a )长方体放电容器内,纵向电场维持了定态等离子体,设直接电离项为i nn tδνδ=,并忽略温度梯度效应,求: (1)在截面内等离子体密度分布和电离平衡条件:(2)设纵向电流密度为e j en E μ=,给出穿过放电室截面的总电流表达式。

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