开运算结果
腐蚀
图11.6 开启和闭合运算示例
(e)
(f) 闭运算结果
开启运算：平滑图像轮廓，削弱狭窄的部分，去掉细长的突出、毛刺和孤立斑点。 闭合运算：平滑图像轮廓，融合窄的缺口和细长的弯口，填补裂缝及破洞。
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（2）开启和闭合运算的性质
性质1：开启和闭合都具有增长性（increasing）：
X
X
X
腐蚀结果
X
X
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B的参考点平移到（2,2）时，见第2列，B的3个元素的坐标为（2,2）（3,2）（2,3）， 不全在X集合中，X集合中的（2,2）点被腐蚀掉。 B的参考点平移到（3,3）时，见第4列，B的3个元素的坐标（3,3）（4,3）（3,4）都包 全含在X中，X集合中的（3,3）点不会被腐蚀掉，（3,3）点也保留。
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（3）膨胀和腐蚀的基本性质
性质1，膨胀运算具的组合（associativity）性：
( X B) A ( X B) A （11.11）
性质2，腐蚀运算不具有组合性： (X
B)
A (X
B)
A （11.12）
性质3：膨胀运算的结构元素D具有可分解性：
D BC
X D X ( B C ) ( X B) C （11.13）
第2节 基本形态学处理
二值形态学运算：
二值图像X 集合，二值结构元素B 集合， 用B 对X 进行形态学操作（运算）。 多种形态学运算： 腐蚀（Erosion）、膨胀（Dilation）、开启（opening）、 闭合（closing）、击中/击不中（Hit or Miss Translation）运算等。
每个元素的前两个变量用来表示像素点的坐标，
第三个变量代表离散的灰度值。
对于任一幅n维图像都可用n维欧氏空间E (n)中的一个集合来表示。
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R中的一个集合X（图像）和另一个集合B（图像）之间的关系：
1）集合B 包含于集合X中，表示为 B X，或集合X包含于集合B中， X B 。 2）集合B 击中（hit）集合X，表示为，即 B∩X≠Ø 。 3）集合B 与集合X 相分离，又称 B 未击中（miss）X，B Xc，即 B∩X=Ø。
(3,4)
(4,2)
(4,4)
(5,2)
(5,4)
【例11.4】 向量运算：X和B分别表示为表11.2中的第一行和第一列，位移的结果放在
表中其它的5×6=30个单元格中，这就是向量运算进行膨胀得到的结果。
其中不重复的17个像素就是膨胀的结果，把它们“并”起来与图11.5相同。
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x(3,3 ) (3,3) (2,3) (4,3)
x(4,3)
(4,3) (3,3) (5,3)
x(5,3)
(5,3) (4,3) (6,3)
b(0,0)
b(-1,0) (1,2) b(1,0) (3,3)
b(0,-1) (2,1)
b(0,1) (2,3)
(2,2)
(2,4)
(2,3)
(2,5)
(3,2)
D X B {x [(B) x
X ] X } （11.8）
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(a) 图11.5
(b) 二值图像的膨胀运算示例
(c)
图11.5，膨胀运算的一个示例。
膨胀的向量运算为：
X B y | y x b，x X and b B （11.9）
ˆ ，定义为： A
ˆ {x | x a, a A} （11.2） A
( A) x { y | y a x, a A}
（11.3）
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2.图像空间的集合表示
（1）图像之间的关系
可以用集合来表示一幅图像。
例如：
黑白图像中所有黑色像素点的集合就是对这幅图像的完整描述。 灰度图像中所有的像素点可以用三维集合来表示：
如一幅二值图像中目标的补集就是它的背景。
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B。
7）差集：
两个集合A和B的差集，记为A-B，定义为：
A B {x | x A, x B} A Bc （11.1）
8）对称集： 集合A的对称集（又称反射）记为 9）位移： 集合A用x=(x1,x2)位移，记为(A)x，定义为
(a)
(b) 图11.2 结构元素示例
(c)
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3.形态学运算过程
图像集合X 和结构元素B之间的逻辑运算， 过程类似于卷积运算。
输入图像 X
结构元素 B 形 态 学 运 算
输出图像 Y
图11.3 形态学图像处理运算过程示意图
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R X B2
B1
B3
图11.1
集合B 和X 之间的关系
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（2）结构元素
结构元素：一种收集图像信息的“探针” （小集合）。 特点:
简单，小于目标图像，形状可以自己定义，如圆形、正方形、线段等。 确定一个或参考点，作为形态学运算的参考点。 处理二值图像的结构元素是二值图像，处理灰度图像的结构元素是灰度图像。
(X B)c X c Bc （11.14）
Bc （11.15）
性质4，膨胀和腐蚀是关于集合补的对偶（duality）运算：
( X B)c X c
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2.开启和闭合运算
膨胀与腐蚀不构成互为逆运算，它们可以级连结合使用。
（1）开启运算和闭合运算：
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3）子集：
集合A包含集合B的充要条件是集合B的每个元素都是集合A的元素， 也可以称为集合B包含于集合A，记为B A 或A 称B是A的子集。 4）并集： 由A和B的所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A B。 5）交集： 由A和B的公共元素组成的集合称为A和B的交集，记为A B。 6）补集： A的补集，记为Ac，定义为 Ac {x | x A} 。
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第1节 数学形态学基础
1.基本集合定义
1）集合： 把一些可区别的客体，按照某些共同特征加以汇集，有共同特性的这些客体
的全体称为集合。
如图像中某物体上像素的全体就可构成一个集合。 如果某种客体不存在，就称这种客体的全体是空集，记为 。
2）元素：
组成集合的各个客体，称为该集合的元素，又称为集合的成员。 如图像中物体上的像素。 用a∈A表示a是集合A的元素，任何客体都不是 的元素。
向量的和，是X的每一项按照b∈B中的每一项位移的结果，即
X B
bB
( X )b （11.10）
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表11.2 膨胀的向量运算
B
X
x(2,2)
(2,2)
x(2,3 ) (2,3) (1,3) (3,4)
x(2,4 ) (2,4) (1,4) (3,4)
X
B Y B
X B X
X B Y B (11.18)
性质2：开启运算非外延（anti-extensive），闭合运算外延（extens质3：开启和闭合运算都具有同前性（idem-potency）:
( X B) B X B ( X B) B X B (11.20)
X
为：B={(0,0),(1,0),(0,1)}，共3个。
表11.1 腐蚀的向量运算
x(2,2) 结 构 元 素 b(0,0) b(1,0) b(0,1) x+b (2,2) (3,2) (2,3) x(2,3) (2,3) (3,3) (2,4) x(3,3) (3,3) (4,3) (3,4) ∈X x(4,3) (4,3) (5,3) (4,4) x(3,4) (3,4) (4,4) (3,5) ∈X x(4,4) (4,4) (5,4) (4,5) x(3,5) (3,5) (4,5) (3,6) 目标像素集合
性质4：开启和闭合运算都具有对偶性:
(X
B)c X c
c c c Bc ( X B) X B (11.21)
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（11.22）
3.击中/击不中运算
击中/击不中运算－－在图像的多个目标中找到特定形状的目标。
找到A中包含特定目标H的物体， 标注物体中包含的H的参考点， 每个参考点代表可能存在的目标。
图像处理与平面设计
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第5讲 形态学处理
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形态学（morphology）
生物学的一个分支，常用它来处理动物和植物的形状和结构， 数学形态学（mathematical morphology） 建立在集合论基础上的数学理论。 形态学图像处理（以下简称“数学形态学”） 20世纪80年代初，学者将数学形态学应用于图像处理和模式识别领域。 用集合来描述图像目标，目标结构特点，各部分之间的关系。 结构元素（structure element） 一种简单的图形工具， 用它去度量和提取图像中的对应形状，以达到对图像分析和识别的目的。