2016～2017 学年第一学期高等数学Ⅱ-1 练习册高等数学Ⅲ-1 练习册专业:姓名:学号:第一章 函数与极限§ 1.1 映射与函数 一、本节学习目标：1.掌握常见函数的定义域，函数的特性。
掌握将一般初等函数拆成几个简单函数的复合。
2.熟悉基本初等函数的类型、性质及图形,了解初等函数的概念。
二、本节重难点:1.a 的δ邻域：(,){}{}(,)U a x x a x a x a a a δδδδδδ=-<=-<<+=-+2.构成函数的要素: 定义域及对应法则。
函数相等：函数的定义域和对应法则相同。
3.1,-ff 互为反函数，且有()1f ff x x x D -≡∈⎡⎤⎣⎦，，()1f f f y y y R -⎡⎤≡∈⎣⎦，.1f -的定义域为f 的值域。
练习题1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A. ()()f x g x x == B. 2()ln ,()2ln f x x g x x ==C.2()()f x g x ==D.2(),()f x g x x == 2.下列函数中为偶函数的是（ ）A. cos 2x xB. 3cos x x + C. sin x x D. 2sin x x3. 下列函数中，奇函数是( )．A. 31y x =+B. ln y x =C. +sin y x x =D. 2+cos y x x =4.下列函数中不是初等函数的是（ ）A.000x x y x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩B.ln sin(1)y x =+C.yD.211101x x y x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩5.凡是分段函数都不是初等函数。
（ ）6.复合函数[g()]y f x =的定义域即()u g x =的定义域。
（ ）7.函数1ln(1)y x =+的定义域是(1,)-+∞。
（ ）8.满足32x +<的全体实数，称以 为中心， 为半径的邻域。
9.设21(),[()]1f x f f x x==- 。
10.arcsin(1)y x =+的定义域 。
11.指出函数y =的复合过程。
12. 指出函数21sin 2xy =的复合过程。
§ 1.2 数列的极限一、本节学习目标：1.理解数列极限的概念。
二、本节重难点:1.-N ε“”语言：0,.lim .n n n N N n N x a x a εε+→∞∀>∃∈>-<=，使得当时，有记作注：（1）ε的任意性。
（ε的作用在于衡量n x 与a 的接近程度） （2）N 的选取是与ε有关的。
2.如果数列{}n x 收敛于a ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a 。
3.推论：如果数列中两个子列的极限存在不相等，则这个数列发散。
4.常用结论: (1)212lim lim lim k k n k k n x x a x a -→∞→∞→∞==⇔=(2)若212lim ,lim k k k k x x -→∞→∞至少有一个不存在，或212lim ,lim k k k k x x -→∞→∞存在，但212lim lim k k k k x x -→∞→∞≠，则lim n n x →∞不存在。
练习题1. 设数列{}n x ，当n 越来越大时，n x a -越来越小，则lim .n n x a →∞= （ ）2. 设数列{}n x ，对0,N N n N ε+∀>∃∈>，当时,有无穷多个n x 满足,n x a ε-<则lim n n x a →∞=. （ ）3. 数列{}n x ,对0ε∀>，{}n x 中仅有有限个n x 不满足,n x a ε-<则lim .n n x a →∞=（ ）4. 有界数列{}n x 必收敛.（ ）5. 无界数列{}n x 必发散。
（ ）6. 发散数列{}n x 必无界.（ ）7. 若数列{}n x 收敛，则数列{}n x 有界。
（ ）8.* 用数列极限的定义证明下列极限：（1）212lim 313n n n →∞+=+ （2）sinnlim 0n n→∞=§ 1.3 函数的极限一、本节学习目标：1.理解函数极限的概念，掌握函数极限的性质。
二、本节重难点:1. 自变量趋于有限值时函数的极限：00lim (x)A (x)A x x f f x x →=→→或（当）2. 自变量趋于无穷大时函数的极限: lim (x)A x f →∞=或(x)A(x )f →→∞当3.(1)0lim ()x x f x A →=⇔0lim ()lim ()A x x x x f x f x -+→→==.(2)0lim ()x x f x →不存在⇔0lim (),lim ()x x x x f x f x -+→→中至少有一个不存在,或0lim ()x x f x +→，lim ()x x f x -→存在但00lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠.(3)lim ()x f x A →∞=⇔lim ()lim ()A x x f x f x →-∞→+∞==.(4)lim ()x f x →∞不存在⇔lim (),lim ()x x f x f x →-∞→+∞中至少有一个不存在,或lim ()x f x →+∞，lim ()x f x →-∞存在但lim ()lim ()x x f x f x →-∞→+∞≠.4. 对于分段函数在其定义域内的分界点处的极限一定要讨论左、右极限。
练习题1. 当1x →时，函数312y x =-→，问δ等于多少时，能使1x δ-<时，20.01y -<2.当x →∞时，函数212x y x-=→，问X 等于多少时，能使x X >时，20.01y -<3.设3()313xx f x x x <⎧=⎨-≥⎩，讨论当3x →时，()f x 的左右极限.4.设+13()213x x f x x x <⎧=⎨-≥⎩，讨论当3x →时，()f x 的左右极限，并说明3lim ()x f x →是否存在。
5.对函数()x f x x=，回答下列问题：（1）函数()f x 在0x =处的左右极限是否存在？（2）函数()f x 在0x =处是否有极限？为什么？(3)* 函数()f x 在1x =处是否有极限？§ 1.4 无穷小与无穷大一、本节学习目标：1.熟悉无穷小，无穷大的概念。
2.掌握无穷小的性质，会利用无穷小量的性质求极限。
3.知道无穷小量与无穷大量之间的关系。
二、本节重难点:1. 无穷小量是一个变量.2.任何很小很小的非零数都不是无穷小量，常量中只有0是无穷小.3.无穷小量的性质：(1)两个无穷小的和是无穷小。
(2)有界量与无穷小的乘积是无穷小。
(3)常数与无穷小的乘积是无穷小。
4. 无穷大量是无界变量。
5. 无穷小量和无穷大量的关系：在自变量的同一变化过程,（1）如果()x f 为无穷大，那么1()f x 为无穷小； （2）如果()x f 为无穷小，且()0f x ≠，那么1()f x 为无穷大。
练习题1. 0lim xx e →= 2.lim x x e →+∞=3.lim xx e →-∞= 4. 10lim xx e -→= 5.无穷多个无穷小量的和是无穷小量。
（ ） 6.两个无穷小量的商是无穷小量。
（ ） 7.两个无穷大的和也是无穷大。
（ ） 8.无穷大与无穷大的积也是无穷大。
（ ） 9.无穷小与无穷大的和一定是无穷大。
（ ）10.无穷小与无穷大的积一定是无穷大。
（ ） 11.非零常量与无穷大量的乘积是无穷大。
（ ）12. 求极限01lim(sin )x x x → 13. 求极限21lim(cos )x x x→14.求极限1lim(sin )x x x →∞15. 求极限arctan limx xx→∞§ 1.5 极限运算法则一、本节学习目标：1.理解并熟练掌握极限的运算法则 二、本节重难点:1.函数的和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商 注意运用上述法则有前提条件：(1)函数的个数有限 （2）每个函数都有极限 （3）有分母时，分母的极限值不为0 2.00lim ()()n n x x P x P x →=,其中()n P x 为n 次多项式。
3.（1）0()lim()x x P x Q x →是00型（(),Q()P x x 同时有极限为零的因式），求极限的方法：一般地分子分母同除以为零的因式。
（2）()lim()n x mP x Q x →∞是 ∞∞型，求极限的方法：分子分母同除以x 的最高次幂。
练习题1. 数列{}n x 和{y }n 都收敛，则数列{y }n n x +必收敛。
（ ）2.数列{}n x 和{y }n 都发散，则数列{y }n n x +必发散。
（ ）3.若数列{}n x 收敛，而{y }n 发散，则数列{y }n n x +必发散。
（ ）4.若lim()0n n n a b →∞⋅=，则必有lim 0n n a →∞=或lim 0n n b →∞=. （ ）5.222lim 41n n nn →∞++ 6.2(1)(2)lim 5n n n n →∞++7.3(1)(2)(3)lim 21n n n n n →∞++++ 8.111lim[+++]1335(21)(21)n n n →∞⨯⨯-+L9.132lim 32n nn nn +→∞-+ 10.n11.22lim 21x x x →++ 12.225lim 3x x x →+-13. 2226lim 4x x x x →+-- 14. 22234lim 4x x x x →---15.22121lim 1x x x x →-+- 16.22468lim 54x x x x x →-+-+17.2231lim 41x x x x x →∞+++- 18.22131lim 2x x x x →-+-19.35231lim 427x x x x x →∞++++ 20.32251lim 465x x x x x →∞-+++21 0x → 22*. 3113lim()11x x x →---23*203050(23)(32)lim (51)x x x x →∞-++24*.已知,a b 为常数，21lim()1x x ax b x→∞+--=，则a = ，b =25*.,a b 为常数，已知1lim21x ax bx →+=-，则a = ，b = .§ 1.6 极限存在准则 两个重要极限一、本节学习目标：1.理解极限存在的两个准则。
2.会用重要极限来计算其他函数的极限。