前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d x y________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+因)(29ln y f y xe e =，故y y y f x'=''+)(1，即))(1(1y f x y '-='，因此 2222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-'''+'--=''= 322232)](1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 解 :因xenx x x x x e nx x x x nn e e e n e e e )1(lim )(lim 2020-++++=+++→→ 故nxn e e e e x e n n e e e A nx x x x nx x x x -+++=-+++=→→ 2020lim lime n n n e n ne e e e nx x x x 21212lim 20+=+++=+++=→因此e n A xenx x x x e e ne e e 2120)(lim +→==+++三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解 : 由A x x f x =→)(lim 0和函数)(x f 连续知，0)(lim lim )(lim )0(000===→→→xx f x x f f x x x因⎰=1d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(1===⎰f t f g ，因此，当0≠x 时，⎰=xu u f x x g 0d )(1)(，故0)0(1)(limd )(lim)(lim 0====→→→⎰f x f xu u f x g x x x x 当0≠x 时，xx f u u f x x g x)(d )(1)(02+-='⎰， 200000d )(lim d )(1lim )0()(lim )0(xt t f x t t f x x g x g g x x xx x ⎰⎰→→→==-='22)(lim 0A x x f x ==→ 22d )(1lim )(lim ])(d )(1[lim )(lim 02000200AA A u u f x x x f x x f u u f x x g x x x x x x =-=-=+-='⎰⎰→→→→这表明)(x g '在0=x 处连续.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe.证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知（1）y x ye y xe x x ye y xe D x y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=--- y x e e Dx y d d )(sin sin ⎰⎰-+=⎰--Lxy x ye y xe d d sin sin y x ye y xe x D x y d d )()(sin sin ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=-y x e e Dx y d d )(sin sin ⎰⎰+=-而D 关于x 和y 是对称的，即知y x e e Dx y d d )(sin sin ⎰⎰-+y x e e Dxy d d )(sin sin ⎰⎰+=- 因此⎰⎰-=---Lxy Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin （2）因)1(2)!4!21(2242t t t e e tt+≥+++=+-故22cos 522cos 12sin 22sin sin xx x e e x x -=-+=+≥+- 由⎰⎰⎰⎰⎰+=+=----Dx y LDx y y yy x e e y x e e x ye y xed d )(d d )(d d sin sin sin sin sin sin知⎰⎰⎰⎰⎰+++=----Dxy LD x y yy y x e e y x e e x ye y xe d d )(21d d )(21d d sin sin sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+++=---Dxx Dx x D y y y x e e y x e e y x e e d d )(d d )(21d d )(21sin sin sin sin sin sin 200sin sin 25d 22cos 5d )(πππππ=-≥+=⎰⎰-x x x e e x x即 2sin sin 25d d π⎰≥--L yy x yey xe 五、（10分）已知xxe xe y 21+=，xxexe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解 设xxe xe y 21+=，xxe xe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程)(x f cy y b y =+'+''的三个解，则x xe ey y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''cy y b y的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是02=++c b λλ因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 212++='，x x x e xe e y 2142++='' 知，1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x xx x e xe e e xe e e xe +-++-++=x e x )21(-=二阶常系数线性非齐次微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解 因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点，故1=c ，于是2323dt )(311023102b a x b x abx ax +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰ 即)1(32a b -=而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积⎰⎰-+=+=1221022dt ))1(32(dt )()(x a ax bx ax a V ππ ⎰⎰⎰-+-+=10221031042dt )1(94dt )1(34dt x a x a a x a πππ22)1(274)1(3151a a a a -+-+=πππ 即22)1(274)1(3151)(a a a a a V -+-+=πππ令0)1(278)21(3152)(=---+='a a a a V πππ， 得04040904554=+--+a a a即054=+a因此45-=a ,23=b ,1=c .七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.解x n n ne x x u x u 1)()(-+='， 即x n e x y y 1-=-'由一阶线性非齐次微分方程公式知)d (1x x C e y n x ⎰-+=即)(nx C e y nx+=因此)()(nx C e x u nxn +=由)1()1(nC e u n e n +==知，0=C ， 于是ne x x u x n n =)(下面求级数的和：令∑∑∞=∞===11)()(n xn n n n e x x u x S 则x e x S e x x S n e x e x x S x n xn n x n xn -+=+=+='∑∑∞=-∞=-1)()()()(1111 即xe x S x S x-=-'1)()(由一阶线性非齐次微分方程公式知)d 11()(x xC e x S x ⎰-+= 令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数∑∞=1)(n nx u的和)1ln()(x e x S x --=八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.解 令2)(t x t f =，则因当10<<x ，(0,)t ∈+∞时，2()2ln 0t f t tx x '=<，故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减。