几何光学测试题1、如图（a ）所示，一细长的圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面（垂直于轴线），另一个端面是球面，球心位于轴线上．现有一很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线人射．当光从平端面射人棒内时，光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为a ；当光线从球形端面射人棒内时，光线在棒内与轴线的交点到球面的距离为b ．试近似地求出玻璃的折射率n 。
2、内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为R 的黑球，距球心为2R 处有一点光源S ，球心O 和光源S 皆在圆筒轴线上，如图所示．若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，则筒的内半径r 最大为多少？3、如图1中，三棱镜的顶角α为60︒，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 30.0cm f =的两个完全相同的凸透镜L 1和 L 2．若在L 1的前焦面上距主光轴下方14.3cm y =处放一单色点光源S ，已知其像S '与S 对该光学系统是左右对称的．试求该三棱镜的折射率．4、如图（a ）所示，两平面镜A 和B 的镜面分别与纸面垂直，两镜面的交线过图中的O 点，两镜面间夹角为︒=15α，今自A 镜面上的C 点处沿与A 镜面夹角︒=30β的方向在纸面内射出一条光线，此光线在两镜面经多次反射后而不再与镜面相遇。
设两镜面足够大，1=CO m 。
试求：（1）上述光线的多次反射中，最后一次反射是发生在哪块镜面上？ （2）光线自C 点出发至最后一次反射，共经历多长的时间？5、有一水平放置的平行平面玻璃板H ，厚3.0 cm ，折射率 1.5n =。
在其下表面下2.0 cm 处有一小物S ；在玻璃扳上方有一薄凸透镜L ，其焦距30cm f =，透镜的主轴与玻璃板面垂直；S 位于透镜的主轴上，如图（a ）所示。
若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到S 的像就在S 处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少?6、望远镜的物镜直径D ＝250cm ，其焦距f ＝160m 。
要用此望远镜对相距L ＝320km ，直径d ＝2m 的人造地球卫星拍摄照片，试问：（1）照像底片应该放在距焦点多远的位置上？（2）人造卫星的像的大小是多少？α βO A B图(a)C D图（a ）2RSrRO 图1S f αF y2L 1L S 'n∙ 图（a ）7、有一只厚玻璃缸，底厚5cm ，内盛4cm 深的水，如图（a ）所示。
已知玻璃和水的折射率分别为1.8和1.33。
如果竖直向下看，看到缸底下表面离水面的距离是多少呢？8、有一薄平凹透镜，凹面半径为0.5m ，玻璃的折射率为1.5，且在平面上镀一层反射层，如图所示。
在此系统的左侧主轴上放一物S ，S 距系统1.5m ，问S 成像于何处？9、薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等。
如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为1n 和2n ，则透镜两侧各有一个焦点（设为1F 和2F ），但1F 、2F 和透镜中心的距离不相等，其值分别为1f 和2f 。
现有一个薄凸透镜L ，已知此凸透镜对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如图（a ）所示。
1．试求出此时物距u ，像距v ，焦距1f 、2f 四者之间的关系式。
2．若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为1θ，则与之相应的出射线与主轴的夹角2θ多大？3．1f ，2f ，1n ，2n 四者之间有何关系？10、有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。
所有光学元件均放在一直长圆筒内。
筒内有：三个焦距分别为1f 、2f 和3f 的透镜1L ,2L ,3L ，321f f f >=；观察屏P ，它是一块带有刻度的玻璃片；由三块形状相同的等腰棱镜构成的分光元件（如图（a ）所示），棱镜分别用折射率不同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒轴平行。
圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝，它与圆筒轴的交点为S ，缝平行于棱镜的底面．当有狭缝的一端对准筒外的光源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。
已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为589.3 nm ，称为D 线）位于圆筒轴与观察屏相交处。
制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，它对钠D 线的折射率D n ＝1.5170;另一种为火石玻璃，它对钠D 线的折射率D n '=1.7200。
1.试在图（b ）中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。
2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角α的数值。
图（b ）图（a ） CS 1.5m0.5m图（a ）α 图（a ）几何光学测试题1、（第25届全国中学生物理竞赛预赛）如图（a ）所示，一细长的圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面（垂直于轴线），另一个端面是球面，球心位于轴线上．现有一很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线人射．当光从平端面射人棒内时，光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为a ；当光线从球形端面射人棒内时，光线在棒内与轴线的交点到球面的距离为b ．试近似地求出玻璃的折射率n 。
入射的两条光线如图（b ）所示。
α1、β1是从平端入射的光线通过球形端面时的入射角和折射角；α2、β2是从球形端面入射的光线通过球面时的入射角和折射角。
根据折射定律有n sin α1=sin β1 (1) sin α2=n sin β2(2) 由几何关系有 β1=α1+δ1(3) α2=β2+δ2(4)设球面的半径为R ，注意到α1、α2、δ1、δ2都是小角度，故有R α1=a δ1 (5) R α2=b δ2(6) 根据题给的条件，(1)、(2)式可近似表示成n α1=β1 (7) α2=n β2(8) 由(3)式−(8)式得 ab n = (9)2、（第22届全国中学生物理竞赛预赛题）内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为R 的黑球，距球心为2R 处有一点光源S ，球心O 和光源S 皆在圆筒轴线上，如图所示．若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，则筒的内半径r 最大为多少？解：自S 作球的切线S M ，并画出S 经管壁反射形成的虚像点S '，及由S '画出球面的切线S 'N ，如图1所示，由图可看出，只要M S '和N S '之间有一夹角，则筒壁对从S 向右的光线的反射光线就有一部分进入球的右方，不会完全落在球上被吸收．由图可看出，如果r的大小恰能使N S '与M S '重合，如图2，则r 就是题所要求的筒的内半径的最大值．这时SM 与MN 的交点到球心的距离MO 就是所要求的筒的半径r ．由图2可得θθ2sin 1cos -==RR r （1）由几何关系可知()R R 2s i n=θ （2） 由（1）、（2）式得R r 332=（3） 3、（第十九届全国中学生物理竞赛预赛）如图1中，三棱镜的顶角α为60︒，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 30.0cm f =的两个完全相同的凸透镜L 1和 L 2．若在L 1的前焦面上距主光轴下方14.3cm y =处放一单色点光源S ，已知其像S '与S 对该光学系统是左右对称的．试求该三棱镜的折射率． 解：图（a ）图（b ）r MNSθS '图2O R θ2RNrMSO2R图1S 'θ2RSrRO图1S f αF y2L 1L S 'n∙由于光学系统是左右对称的，物、像又是左右对称的，光路一定是左右对称的。
该光线在棱镜中的部分与光轴平行。
由S 射向1L 光心的光线的光路图如图2所示。
由对称性可知12i r = ①21i r = ②由几何关系得 1260r i α+==︒ ③ 由图可见11i r β=+ ④又从1FSO ∆的边角关系得tan /y f β= ⑤代入数值得arctan(14.3/30.0)25.49β==︒ ⑥由②、③、④与⑥式得130r =︒，155.49i =︒ 根据折射定律，求得11sin 1.65sin i n r == ⑦4、如图（a ）所示，两平面镜A 和B 的镜面分别与纸面垂直，两镜面的交线过图中的O 点，两镜面间夹角为︒=15α，今自A 镜面上的C 点处沿与A 镜面夹角︒=30β的方向在纸面内射出一条光线，此光线在两镜面经多次反射后而不再与镜面相遇。
设两镜面足够大，1=CO m 。
试求：（1）上述光线的多次反射中，最后一次反射是发生在哪块镜面上？ （2）光线自C 点出发至最后一次反射，共经历多长的时间？ 解：首先就一般情况进行讨论，如图（b ）。
设光线第一次在平面镜B 上发生反射时，CD 为入射光线，DE 为反射光线，又设图中的1A 为平面镜A 关于OB 的对称镜面，则图中E D '与DE 也关于OB 对称，即DE E D ='。
又由光的反射定律和图中的对称关系容易得出：C 、D 、E '三点在同一直线上，且E D '对平面镜1A 的入射角等于DE 对平面镜A 的入射角。
因此光线由E D C --所经过的路径和它将进一步发生反射的情况，可以用光线在D 处不发生反射而沿直线前进至镜面1A 上的情况来代替。
对于E 点反射后的光线EF ，通过同样的分析也可用F E ''来代替，其中平面镜1B 为平面镜B 关于1A 的对称镜面，F '为直线CD 与平面镜1B 的交点。
显然，对于以后的各次反射，我们按照上法依次类推下去，其等效关系都能照样成立。
根据以上分析，我们自OB 出发，每隔α角画一块对称镜面，如图（c ）所示。
令其自OB 镜面起，依次为第1、第2、…第n 、第)1(+n 块镜面，再做射线CD ，使其依次与所有可能相交的镜面相交，设其相交后的最后一块镜面为第n 块，其交点K ，则有αn AOK =∠这样得出的图的意义是：CD 射线与每一块镜面相交一次，则相当于光线在AB 两镜面间反射一次，在K 点相当于发生最后一次反射，此后的光线不再与第)1(+n 块镜面相遇，即光线此后将在AB 两镜面间平行于某一镜面向外射出。
由图可见，由于第n 块镜面与CD 射线相交，而第)1(+n 块镜面与CD 射线不相交，故n 值应满足关系式是βαβα++≤︒<+)1(180n n 所以 1180+≤-︒<n n αβ（*）（1）根据（*）式结合本题所给的条件有A 2L 1L C nS 'f 'F 'Sf F 2i1rβy '∙ ∙y ββ2r 1O 1iββ2O Bα图2β α βOAB图(a)C D图（b ） F ' E ' O D C E F AB 1A 1B αα α 图（c ） β D B O θ C K α A α α10180=-︒αβ故得9=n ，即光线自C 点出发后，还将分别在A 、B 镜面上总共发生9次反射，这样便可确定其最后一次反射是发生在平面镜B 上。