二、曲面的切平面
1、切平面的定义
rv
(u0 ,v0 )
C ru
设曲面曲线为 (c)： u = u (t) , v = v (t) , 或 r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)，
这条曲线在曲面上(u0 ,v0 )处的切方向称为曲面在该点的
切方向或方向，
切方向仅与 du : dv 有关(P63)
则得到曲面关于新曲纹坐标 (u , v )的方程 r r(u , v)
u v
u v
对 u,v
因此
求导：ru
微分几何
主讲人：郭路军
内 容 提 要
第二章 曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线） 2、曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲线的弧长、
正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换）
3、曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲线的
曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等）
4、直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面） 5、曲面论的基本定理（基本方程、基本定理） 6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
r v
(u0 ,
v0
)
如果它们不平行，即 ru× rv 在该点不为零，则称该点为曲 面的正常点。
3、正规坐标网
由ru， rv 的连续性，若 ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零， 则总存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零，
于是在这片曲面上，有一族 u 线和一族 v 线，它们不 相切，构成一正规坐标网。
给定曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v)
可得如下命题：
或 r = r (u,v)
命题1 曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示， 即有 z = z ( x , y ).
证： 事实上，ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零，则由上面论述，总存 在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零，
故的坐标中的三个二级子式中至少有一个不为0，
不妨设第一个不为0，即 (x, y)
x u
(u, v) x
y u
y
v v
由隐函数定理， x = x (u ,v) , y = y (u ,v) 在 U 中存在
唯一的单值连续可微函数 u = u (x , y ), v = v( x , y) ,
代入得 z = z [ u( x, y),v(x,y)] = z(x,y)。
ru rv
ru×rv
rv
r0
ru
2、法线的方程 设法线上任一点R (u,v)
rv
ru×rv
r0
R - r0 =(ru×rv)t
ru
R – r0 //ru×rv
R
则法线的方程为 R r(u, v) (ru rv )
用坐标表示为
X x(u, v) Y y(u, v) Z z(u, v)
c1 类的曲面又称为光滑曲面。
2、过曲面上一点( u0 ,v0 ) 有一条u--曲线： r = r (u,v0 ) 和一条v—曲线： r = r (u0 ,v)
rv
S
r0 (u0 ,v0 )
ru
该点处这两条坐标曲线的切向量为：
ru
(u0 , v0 )
r u
(u0 , v0 )
,
rv
(u0 , v0 )
,
ry
{0,1, z} {0,1, q} y
X x0 1 0
Y y0 0 1
Z z0 p0 0 q0
三、法方向与法线
1、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方
向，过该点平行于法方向的直线称作曲面在该点的法线。
由定义，曲面的法方向为
N
ru
rv
单位法向量为
n
ru
rv
yu zu
zu xu
xu yu
yv zv
zv xv
xv yv
法线的方程为
R r(u, v) (ru rv )
用坐标表示为
X x(u, v) Y y(u
xu yu
yv zv
zv xv
xv yv
如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r {x, y, z(x, y)}
它平行于
r(t)
ru
du dt
rv
dv dt
或
r(t)
dv dt
(ru
du dv
rv )
其中 ru , rv 分别是在(u0 ,v0 )点处的两条坐标曲线的切向量。
以下切方向三种表示通用：du : dv 、 (d) 和 r(t) 。
由
r(t)
ru
du dt
rv
dv dt
rv
(u0 ,v0 )
ru
可以看出，切向量 r(t) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点有
公式、曲面上向量的平行移动）
7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗
氏几何）
1.2 光滑曲面、曲面的切平面和法线
一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函
数有直到 k 阶的连续微商，则称为 k 阶正则曲面或 ck 类曲面。
xu (u0 , v0 )
yu (u0 , v0 )
zu (u0 , v0 ) 0
xv (u0 , v0 )
yv (u0 , v0 )
zv (u0 , v0 )
如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r {x, y, z(x, y)}
rx
{1,0, z} {1,0, p} x
rx
{1,0,
z} x
{1,0,
p}
,
ry
{0,1, z} {0,1, q} y
则有
X x Y y Z z(x, y)
p
q
1
例题P65， 求切平面和法线.
四、参数变换
如果曲纹坐标(u,v)变为新的曲纹坐标 (u , v ) ：
u u(u ,v ) , v v(u ,v ) r r(u(u ,v ),v(u ,v ))
无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数切方向，且有
命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的
切向量 ru , rv 所确定的平面上。
这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
3、切平面的方程
设曲面上一点为 P0( u0 ,v0 )，R (X,Y,Z)为切平面上任一点， 则
(R r(u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) 0 或写成坐标表示式 X x(u0 , v0 ) Y y(u0 , v0 ) Z z(u0 , v0 )