有： T ⊥ n
曲面 ∑ 在点M的法向量
n = {Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )}
切平面方程：
Fx (x0 , y0 , z0 )(x − x0 )+ Fy (x0 , y0 , z0 )(y − y0 )+ Fz (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0
F (x(t), y(t), z(t)) = 0
两边在 t = t0 处求导,得
Fx (x0 , y0 , z0 )x′(t0 )+ Fy (x0 , y0 , z0 )y′(t0 )+ Fz (x0 , y0 , z0 )z′(t0 ) = 0
令：
T = {x′(t0 ), y′(t0 ), z′(t0 )}, n = {Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )}
过M点且垂直于切平面的称为曲面 ∑ 在点 M 的法线.
法线方程：
x − x0
Fx (x0 , y0 ,
z0 )
=
y − y0
Fy (x0 , y0 ,
z0 )
=
z − z0
Fz (x0 , y0 ,
z0 )
例.求球面 x2 + y2 + z2 =14 在点(1,2,3)处的切平面
及法线方程.
解:令
曲面的切平面与法线
设有光滑曲面 Σ : F(x, y, z) = 0
通过其上定点 M (x0, y0, z0 ) 任意引一条光滑曲线 Γ : x = x(t), y = y(t), z = z(t),t ∈[α , β ] 设 t = t0 对应点 M,
且x′(t0 ), y′(t0 ), z′(t0 ) 不全为0，则 Γ 在M的切向量为：T
T = {x′(t0 ), y′(t0 ), z′(t0 )}
M
Γ
切线方程
x − x0
x′(t0 )
=
y − y0
y′(t0 )
=
z − z0
z′(t0 )
下面证明：∑ 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上. 此平面称为 ∑ 在该点的切平面.
证明:由于 Γ : x = x(t), y = y(t), z = z(t) 在 ∑ 上.故
F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 −14
法向量：
n
(1,2,3)
= {2x,2y,2z} (1,2,3)
=
{2,4,6}
故球面在点(1,2,3)处的切平面方程：
2(x −1) + 4(y − 2)+ 6(z − 3) = 0
即
x + 2 y + 3z −1y − 2 = z −3 123