例2 证明对任意常数 , ,球面 x2 y2 z2 2
与锥面 x2 y2 tan2 z2 是正交的.
5 曲面的切平面与法线
若曲面方程为
F(x, y, z) 0
设 F (x, y, z) 对各个变量有连续偏导数. M0 (x0, y0, z0 )为
曲面上一点,过点 M0任作一条在曲线 l ,设其方程为
x x(t), y y(t), z z(t),
显然
F (x(t), y(t), z(t)) 0
与切向量正交.由于 l 的任意性,可见曲面上过M0 的任
一条曲线在该点的切线都与 n 正交,因此这些切线应
在同一平面上,这个平面就称为曲面在 M0 点的切平面,
而 n 就是切平面的法向量.从而即可写出曲面在 M0点
的切平面方程为
(Fx )M0 (Fy )M0 (Y y0 ) (Fx )M0 (Z z0 ) 0
于是曲面在点 (x0, y0, z0（) 这里z0 f (x0, y0 ) ）的切平
面方程为
(
z x
)
(
x0
,
y0
)
(
X

x0 )

(
z y
)(
x0
,
y0
)
(Y

y0 )

(Z

z0 )

0,
法线方程为
最后，若曲面方程为参数形式
x x(u,v), y y(u,v), z z(u,v),
对 t 求导,在 M0 点(设此时对应于 t t0 )有
(Fx )M0 x'(t0 ) (Fy )M0 y'(t0 ) (Fz )M0 z'(t0 ) 0
l 前已知道,向量 (x'(t0 ), y'(t0 ), z'(t0 )) 正是曲线 在
在 M0 点的切向量. 上式说明向量 n((Fx )M0 ,(Fy )M0 ,(Fz )M0 )
按隐函数求导法则有
z u

z x x u
z y , y u

z v

z x
x v

z y
y v
,
由这两个方程可解出
z x
及
z y
z D( y, z) D(x, y) , x D(u,v) D(u,v)
z D(z, x) D(x, y) , y D(u,v) D(u,v)
过 M0 点并与切平面垂直的直线,称为曲面在 M0点的 法线,它的方程是
X x0 Y y0 Z z0 (Fx )M0 (Fy )M0 (Fz )M0
设 ,,
分别为曲面在
M
的法线与
0
x,
y,
z
轴正向之间
的夹角,那么在 M0(x0, y0, z0 ) 点的法线方向余弦为
cos
(Fx )M0
,

(
Fx
)
2 M
0

(
Fy
)
2 M
0

(
Fz
)
2 M
0
cos
(Fy )M0
,

(
Fx
)
2 M
0

(
Fy
)
2 M
0

(
Fz
)
2 M
0
cos
(Fz )M0
,

(
Fx
)
2 M
0

(
Fy
)
2 M
0
(
Fz
)
2 M
0
若曲线方程是
z f (x, y),
它很容易化为刚才讨论过的情形 F (x, y, z) z f (x, y) 0,
如果由 x x(u,v), y y(u,v) 决定了两个函数
u u(x, y),v v(x, y),
因此可以将 z 看为 x, y 的函数，这样问题就化为刚
才已经讨论过的问题了.因此只要求出 z 及z .为此,将
x y
z z(u,v)分别对 u,v 求导,并注意到 z 为 x, y 的函数,
对于曲面方程为显示表示及参数表示时,同样可
写出它们在 M 0点的法线方向余弦,请读者写出.
例1 求曲面 z x2 y2 1在点 (2,1,4) 的切平面及 法线方程.
通常两曲线在交点的夹角,是指交点外两个切向量的 夹角;两曲面在交线上一点的夹角,是指两曲面在交点 的法线的夹角.如果两曲面在交线的每一点都正交,则 称这两曲面为正交曲面.
于是,在 M0 点的切平面方程应为
D(y, z) D(u, v)
M0
(X

x0 )
D(z, x) D(u, v)
M0
(Y

y0 )

D(x, D(u,
y) v)
M0
(Z

z0
)

0,
法线方程为
X x0 Y y0 Z z0 .
D( y, z) D(z, x) D(x, y)
D(u, v) M0 D(u, v) M0 D(u, v) M0