2016-2017学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科2016.12一.填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,其中第1题至第6题每小题4分,第7题至第12题每小题5分,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分(或5分),否则一律得0分. 1. 25lim1n n n →∞-=+____________.【解答】25lim 1n n n →∞-=+52n lim 11n n→∞-=+2010=+=2. 2. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点,焦点在x 轴上,若C 经过点(1,3)M ,则其焦点到准线的距离为____________.【解答】由题意可知:由焦点在x 轴上,若C 经过点M (1,3), 则图象经过第一象限,∴设抛物线的方程:y 2=2px , 将M (1,3)代入9=2p ,解得:p=92, ∴抛物线的标准方程为:y 2=9x , 由焦点到准线的距离d=p=2p , 3. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 1020,解为21x y =⎧⎨=⎩,则=+b a ____________. 【解答】解:由题意知21x y =⎧⎨=⎩是方程组2ax y b =⎧⎨=⎩的解,即,则a +b=1+1=2, 故答案为:2.4. 若复数z 满足:3i z i ⋅=+(i 是虚数单位),则z =______.【解答】解:由iz=+i ,得z==1﹣i ,故|z |==2, 故答案为:2.5. 在622()x x +的二项展开式中第四项的系数是____________.(结果用数值表示)【解答】解:在(x +)6的二项展开式中第四项:=8Cx ﹣3=160x ﹣3.∴在(x +)6的二项展开式中第四项的系数是160.故答案为:160.6. 在长方体1111ABCD A B C D -中,若11,2AB BC AA ===,则异面直线1BD 与1CC 所成角的大小为____________.【解答】解:如图,连接D 1B 1; ∵CC 1∥BB 1;∴BD 1与CC 1所成角等于BD 1与BB 1所成角; ∴∠B 1BD 1为异面直线BD 1与CC 1所成角; ∴在Rt △BB 1D 1中,cos ∠B 1BD 1=;∴异面直线BD 1与CC 1所成角的大小为.故答案为:.7. 若函数22,0(),0x x f x x m x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为(],1-∞,则实数m 的取值范围是____________.【解答】解:x ≤0时:f (x )=2x ≤1.x >0时,f (x )=﹣x 2+m ,函数的对称轴x=0,f (x )在(﹣∞,0)递增,∴f (x )=﹣x 2+m <m , 函数f (x )=的值域为(﹣∞,1],故m <1,故答案为:(﹣∞,1]8. 如图:在ABC ∆中,若13,cos ,22AB AC BAC DC BD ==∠==,则AD BC ⋅=____________.【解答】解:根据条件:===;∴===.9. 定义在R 上的偶函数()y f x =,当0x ≥时,2()lg(33)f x x x =-+,则()f x 在R 上的零点个数为___________个.【解答】解:当x ≥0时,f (x )=lg (x 2﹣3x +3),函数的零点由:lg (x 2﹣3x +3)=0,即x 2﹣3x +3=1,解得x=1或x=2. 因为函数是定义在R 上的偶函数y=f (x ),所以函数的零点个数为:4个. 故答案为:4.10. 将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内,其中2辆卡车必须停在A 与B 的位置,那么不同的停车位置安排共有____________种?(结果用数值表示)【解答】解:由题意,不同的停车位置安排共有A 22A 86=40320种. 故答案为40320.11. 已知数列{}n a 是首项为1,公差为2m 的等差数列,前n 项和为n S .设*()2nn nS b n N n =∈⋅,若数列{}n b 是递减数列,则实数m 的取值范围是____________. 【解答】解:S n =n +×2m=mn 2+(1﹣m )n .∴b n ==,∵数列{b n }是递减数列, ∴b n +1<b n ,∴<,化为:m <n ,对于∀n ∈N *,即可得出. 因此m <1.则实数m 的取值范围是(﹣∞,1). 故答案为:(﹣∞,1).12. 若使集合{}2|(6)(4)0,A x kx k x x Z =--->∈中的元素个数最少,则实数k 的取值范围是_______________.【解答】解:集合A={x |(kx ﹣k 2﹣6)(x ﹣4)>0,x ∈Z }, ∵方程(kx ﹣k 2﹣6)(x ﹣4)=0, 解得:,x 2=4,∴(kx ﹣k 2﹣6)(x ﹣4)>0,x ∈Z 当k=0时,A=(﹣∞,4);当k >0时,4<k +,A=(﹣∞,4)∪(k +,+∞); 当k <0时,k +<4,A=(k +,4). ∴当k ≥0时,集合A 的元素的个数无限;当k <0时,k +<4,A=(k +,4).集合A 的元素的个数有限,此时集合A 的元素个数最少.则有:,解得:k <0.故答案为:(﹣∞,0).二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得0分.13. “()4x k k Z ππ=+∈”是“tan 1x =”成立的( )(A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )既非充分也非必要条件 【解答】解:∵tanx=1,∴x=k π+(k ∈Z )∵x=k π+(k ∈Z )则tanx=1,∴根据充分必要条件定义可判断: “x=k π+(k ∈Z )“是“tanx=1”成立的充分必要条件故选:C14. 若12i -(i 是虚数单位)是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根,则( )(A )2,3b c == (B )2,1b c ==- (C )2,1b c =-=- (D )2,3b c =-= 【解答】解:∵1﹣i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c=0的一个复数根, ∴1+i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c=0的一个复数根, ∴,解得b=﹣2,c=3.故选:D .15. 已知函数()x f 为R 上的单调函数,()x f1-是它的反函数,点()3,1-A 和点()1,1B 均在函 数()x f 的图像上,则不等式()121<-x f 的解集为( )(A )()1,1- (B )()1,3 (C )()20,log 3 (D )()21,log 3 【解答】解:∵点A (﹣1,3)和点B (1,1)在图象上, ∴f (﹣1)=3,f (1)=1,又f ﹣1(x )是f (x )的反函数, ∴f ﹣1(3)=﹣1,f ﹣1(1)=1,由|f ﹣1(2x )|<1,得﹣1<f ﹣1(2x )<1,即f ﹣1(3)<f ﹣1(2x )<f ﹣1(1),函数f (x )为R 的减函数,∴f ﹣1(x )是定义域上的减函数, 则1<2x <3,解得:0<x <log 23.∴不等式|f ﹣1(2x )|<1的解集为(0,log 23). 故选:C .16. 如图,两个椭圆221259x y +=,221259y x +=内部重叠区域的边界记为曲线C ,P 是曲线C 上的任意一点,给出下列三个判断:① P 到1(4,0)F -、2(4,0)F 、1(0,4)E -、2(0,4)E 四点的距离之和为定值;② 曲线C 关于直线y x =、y x =-均对称; ③ 曲线C 所围区域面积必小于36.上述判断中正确命题的个数为( )(A )0个 (B )1个 (C )2个 (D )3个【解答】解:对于①,若点P 在椭圆+=1上,P 到F 1(﹣4,0)、F 2(4,0)两点的距离之和为定值、到E 1(0,﹣4)、E 2(0,4)两点的距离之和不为定值,故错; 对于②,两个椭圆+=1,+=1关于直线y=x 、y=﹣x 均对称,曲线C 关于直线y=x 、y=﹣x 均对称,故正确;对于③,曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部,所以面积必小于36,故正确.故选:C三.解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.如图,已知⊥PA 平面ABC ,AB AC ⊥,2==BC AP ,︒=∠30CBA ,D 是AB 的中点.(1)求PD 与平面PAC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示); (2)求PDB ∆绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体的体积(结果保留π).18. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数23sin ()cos 1x xf x x-=. (1)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的值域; (2)已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若()3,4,52Af a b c ==+=,求ABC ∆的面积.19. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.某创业团队拟生产A 、B 两种产品,根据市场预测,A 产品的利润与投资额成正比(如图1),B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2).(注:利润与投资额的单位均为万元) (1)分别将A 、B 两种产品的利润()f x 、()g x 表示为投资额x 的函数;(2)该团队已筹集到10万元资金,并打算全部投入A 、B 两种产品的生产,问:当B 产品的投资额为多少万元时,生产A 、B 两种产品能获得最大利润,最大利润为多少?20. (本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.如图:双曲线Γ:2213x y -=的左、右焦点分别为12,F F ,过2F 作直线l 交y 轴于点Q . (1)当直线l 平行于Γ的一条渐近线时,求点1F 到直线l 的距离;(2)当直线l 的斜率为1时,在Γ的右支上...是否存在点P ,满足110F P FQ ⋅=?若存在, 求出P 点的坐标;若不存在,说明理由;(3)若直线l 与Γ交于不同两点A B 、,且Γ上存在一点M ,满足40OA OB OM ++=(其中O 为坐标原点),求直线l 的方程.21. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.正数数列{}n a 、{}n b 满足:11a b ≥,且对一切2,*k k N ≥∈,k a 是1k a -与1k b -的等差中项,kb 是1k a -与1k b -的等比中项.(1)若222,1a b ==,求11,a b 的值;(2)求证:{}n a 是等差数列的充要条件是{}n a 为常数数列; (3)记||n n n c a b =-,当*2()n n N ≥∈时,指出2n c c ++与1c 的大小关系并说明理由.参考答案一、填空题:(共54分,第1题至第6题每小题4分;第7题至第12题每小题5分)1. 22.92 3. 2 4. 2 5. 160 6. 4π 7. 01m <≤ 8. 32- 9. 4 10. 4032011. 01m ≤< 12. []3,2--二、选择题:(共20分,每小题5分)13. C 14. D 15. C 16. C三、解答题17、解:(1) ⊥PA 平面ABC ,AB PA ⊥,又 AB AC ⊥,⊥∴AB 平面PAC ,所以DPA ∠就是PD 与平面PAC 所成的角.………4分在PAD Rt ∆中,23,2==AD PA ,………………………………………6分 所以43arctan=∠DPA , 即PD 与平面PAC 所成的角的大小为43arctan.………………………8分 (2)PDB ∆绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体,是以AB 为底面半径、AP 为高的圆锥中挖去一个以AD 为底面半径、AP 为高的小圆锥. ………10分所以体积πππ232)23(312)3(3122=⋅⋅-⋅⋅=V . ……………14分.18、解:(1)由条件得:21cos 21()sin cos sin 222x f x x x x x +=+⋅=+,即1()cos 2sin 2222f x x x =++………2分sin(2)32x π=++,………3分因为[0,]2x π∈,所以sin(2)[3x π+∈因此()sin(2)3f x x π=++1]+………6分(2)由()2Af =sin()32A π+=因为(0,)A π∈,所以4(,)333A πππ+∈,所以233A ππ+=,即3A π=.………8分 由余弦定理得:2216b c bc +-=,所以2()316b c bc +-=, 又5b c +=,解得3bc =,………12分所以1sin 24ABC S bc A ∆==.………14分19、解:(1)1()(0)4f x x x =≥.……3分,()0)g x x =≥.………6分 (2)设B 产品的投资额为x 万元,则A 产品的投资额为(10x -)万元,创业团队获得的利润为y 万元,则1()(10)(10)(010)4y g x f x x x =+-=-≤≤.………10分t =,()1002545412≤≤++-=t t t y,即21565()(04216y t t =--+≤≤,当52t =,即 6.25x =时,y 取得最大值4.0625………13分答:当B 产品的投资额为6.25万元时,创业团队获得的最大利润为4.0625万元.……14分 20、解:(1)易得1(2,0)F -,2(2,0)F ,Γ的渐近线方程为y x =,由对称性,不妨设:2) l y x =-,即20x --=,------------------2分 所以,1(2,0)F -到l的距离2d ==.-----------------------------4分(2)当直线l 的斜率为1时,l 的方程为2y x =-,------------------------5分 因此,(0,2)Q -, -----------------------------6分 又1(2,0)F -,故1(2,2)FQ =-, 设Γ右支上的点P 的坐标为(,),(0)x y x >,则1(2,)F P x y =+, 由110F P FQ ⋅=,得2(2)20x y +-=,-----------------------8分又2213x y -=,联立消去y 得2212150x x ++=,由根与系数的关系知,此方程无正根,因此,在双曲线Γ的右支上不存在点P ,满足110F P FQ ⋅=. --------------------10分(3)设1122(,),(,) A x y B x y ,则1212(,)44x x y y M ----, ----------------11分 由M 点在曲线上,故212212()4()134x x y y -----=(*)设:(2) l y k x =-联立l 与Γ的方程,得2222(13)121230k x k x k -+--=---------------------------12分由于l 与Γ交于不同两点,所以,k ≠. 所以,21221213k x x k -+=-, 因此,12121224(2)(2)()413k y y k x k x k x x k k-+=-+-=+-=-. ------------14分 从而(*)即为22222124()3()481313k k k k---=--,解得2k =±.即直线l 的方程为20x ±-= . -------------------------------------------16分21、解:(1)由条件得1122a b +==,11a =2,1b =2.----------4分 (2)充分性:当{}n a 为常数数列时,{}n a 是公差为零的等差数列;--------------5分 必要性:当{}n a 为等差数列时,1120m m m a a a -++-=对任意2,*m m N ≥∈恒成立,----------------------------------------------------------------------6分而112m m m a a a -++-=1m a -+1211()()m m m m a b a b --+-+ =121()m m m a b b -+-=1111(22m m m a b b ---++-,0>0=,即11m m a b --=,-------------9分 从而1111122m m m m m m a b a a a a -----++===对2,*m m N ≥∈恒成立, 所以{}n a 为常数列. ------------------------------------------------------------------------10分(3)因为任意*,2n N n ∈≥,112n n n n a b a b --+=≥=,--------------12分 又已知11a b ≥,所以n n n c a b =-.从而11n n a b ++-=111((2)()2222n n n n n n n n n a b a b a b b a b +=+-≤+-=-, 即112n n c c +≤, ----------------------------------------------------------------------------------14分 则n c ≤121n c -≤2212n c - ≤…≤1112n c -,----------------------------------------------16分 所以2n c c ++≤112c ++1112n c -=11(1)2n --1c <1c .-------------------18分。