1.用薄钢板制造一体积5m 3，长度不小于4m ，无上盖的货箱，要求钢板耗量最小。

确定货箱的长x 1、宽x 2和高x 3。

试列出问题的数学模型。

解：min 32312122x x x x x x z ++= s.t 5321=x x x 41≥x 0,,321≥x x x2.将下面的线性规划问题表示为标准型并用单纯形法求解max f=x 1+2x 2+x 3s ．t ．2x 1+x 2-x 3≤2 -2x 1+x 2-5x 3≥-6 4x 1+x 2+x 3≤6 x i ≥0 i=1，2，3 解：先化标准形：Min 321x x x z -+=224321=+-+x x x x 6525321=++-x x x x646321=+++x x x x列成表格：121610011460105122001112-----可见此表已具备1°，2°，3°三个特点，可采用单纯形法。

首先从底行中选元素-1，由2/2,6/2,6/4最小者决定选第一行第一列的元素2，标以记号，迭代一次得121210231040116201002121211--------再从底行中选元素-2/3，和第二列正元素1/2，迭代一次得12123230210231040116201002121211-------再从底行中选元素-3，和第二列正元素2，迭代一次得4233410120280114042001112---再迭代一次得1023021062210231010213000421021013--选取最优解：01=x 42=x 23=x3. 试用DFP 变尺度法求解下列无约束优化问题。

min f （X ）=4（x 1-5）2+（x 2-6）2取初始点X=（8，9）T ，梯度精度ε=0.01。

解：取IH=0,初始点()TX 9,8=2221)6()5(4)(-+-=x x x f⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∇122408)(21x x x f⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∇624)()0(xfTx f d )6,24()()0()0(--=-∇=)0(0)0()1(dxxα+=T)69,248(00αα--=])669()5248(4min[)(min 2020)0(0)0(--+--⨯=+αααdxf 0)6()63(2)24()2458(8)(00)0(0)0(=-⨯-+-⨯--=+ααααd d xdf13077.0130170≈=α⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21538.886153.462413077.098)1(x⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∇43077.410784.1)()1(xf进行第二次迭代：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=78463.013848.31)0()1(xxδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∇-∇=56924.110783.25)()(1)0()1(xf xf γ101011011101γγγγγδδδH HH H H TTTT-+=03172.8011=γδT86614.6321101==γγγγH T⎥⎦⎤⎢⎣⎡=61561.046249.246249.285005.911Tδδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==46249.240022.3940022.3940363.630110110TTHH γγγγ所以：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0038.103149.003149.012695.01H⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=∇-=43076.410784.10038.103149.003149.012695.0)()1(1)1(xf H d⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=48248.428018.0令 )1(1)1()2(dx x α+=利用)()1()1(=+ααd dxdf ，求得49423.01=α，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=21538.213848.021538.886152.449423.0)1()1()2(dxx⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=65因)()2(=∇xf ，于是停，)2(x 即为最优解。

4. 某厂生产甲乙两种口味的饮料，条件如下：因条件所限，甲饮料产量不能超过8百箱。

问如何安排生产计划，即两种饮料各生产多少使获利最大。

（要求：1.建立数学模型，并求解。

2.用mat lab 编写程序） 解：模型假设：设生产甲饮料错误！未找到引用源。

百箱,生产乙饮料2x 百箱,获利最大为z. 符号说明：错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

为生产甲饮料的百箱数2x 错误！未找到引用源。

为生产乙饮料的百箱数z 为生产甲饮料x 百箱和生产乙饮料y 百箱数获利最大值.建立模型：目标函数：21910maxx x z +=错误！未找到引用源。

原料供应：错误！未找到引用源。

工人加工：错误！未找到引用源。

产量限制：错误！未找到引用源。

非负约束：错误！未找到引用源。

02,1≥x x得出模型为：错误！未找到引用源。

21910maxx x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,815020106056,2112121x x x x x x x t s先化标准形：min 21910x x Z +=6056321=++x x x1502010421=++x x x851=+x x列成表格91081000115001020106000156--可见此表已具备1°，2°，3°三个特点，可采用单纯形法。

首先从底行中选元素-9，由最小者150/20决定选第二行第二列的元素20，标以记号，迭代一次得910810001150202145021207---2135020902118100011502021********--再从底行中选元素-11/2，和第1列正元素7，迭代一次得2135020902117111141720073002829711074501417201----7720035871107111141720073002829711074501417201---选取最优解：7451=x 7302=x编写M 文件，代码如下：>> f=[-10,-9]'; a=[6,5;10,20;1,0;-1,0;0,-1];b=[60,150,8,0,0]'; x=linprog(f,a,b)运行结果：Optimization terminated.x =6.42864.2857>> ans=f'*xans =-102.8571结果分析：甲饮料生产642箱，乙饮料生产428箱时，获利最大为102.8万元。

5.某家具厂要安排一周的生产计划，产品是桌子和椅子。

制作一张桌子需4m2木板及时性20小时的工时，制作一只椅子需6m2木板及18小时的工时，每周能拥有的木板是600m2，可利用的工时是400小时；每张桌子的利润是50元，每只椅子的利润是60元。

按合同每周至少要交付8张桌子和5只椅子，并假定所有的产品都能够销售出去。

问：该厂每周生产桌子和椅子的数量分别是多少时，能获得最大利润？（要求：1.建立数学模型，并求解。

2.用mat lab编写程序）解：设x1为每周生产桌子数，x2为每周生产椅子数，则:S max=50 x1+60 x2约束条件：4 x 1 +6 x 2≤600（材料）20 x 1+18 x 2≤400（工时）x 1≥8，x 2≥5先化标准形:min 216050x x z +=60064321=++x x x4001820421=++x x x851-=+-x x562-=+-x x列成表格：60505100010801000140000101820600000164------可见此表已具备1°，2°，3°三个特点，可采用单纯形法。

首先从底行中选元素-50，由最小者400/20决定选第二行第一列的元素20，标以记号，迭代一次得：10005.20155120001024000101802000021091026000015120----再从底行中选元素-15，和第2列元素18，迭代一次得：12003503200150182010002400201018016002000020732004051500---得：1200350320032519101810003400910181010801000148803831100---选取最优解：81=X3402=X4883=X3254=X编写M 文件，代码如下：>> f=[-50,-60]'; a=[4,6;20,18;-1,0;0,-1]; b=[600,400,-8,-5]';x=linprog(f,a,b)运行结果：Optimization terminated.x =8.000013.3333>> ans=f'*xans =-1.2000e+003结果分析：当生产8张桌子,13张椅子时,可获最大利润为1200元.。