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自然数平方和公式的推导与证明

※自然数之和公式的推导法计算1,2,3,…,n,…的前n项的和:由 1 + 2 + … + n-1 + nn + n-1 + … + 2 + 1(n+1)+(n+1)+ … +(n+1)+(n+1)可知上面这种加法叫“倒序相加法”※等差数列求和公式的推导一般地,称为数列的前n项的和,用表示,即1、思考:受高斯的启示,我们这里可以用什么方法去求和呢?思考后知道,也可以用“倒序相加法”进行求和。

我们用两种方法表示:①②由①+②,得由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式,我们知道:只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。

2、除此之外,等差数列还有其他方法(读基础教好学生要介绍)当然,对于等差数列求和公式的推导,也可以有其他的推导途径。

例如:====这两个公式是可以相互转化的。

把代入中,就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到:第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。

第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系,而且是关于n的“二次函数”,可以与二次函数进行比较。

这两个公式的共同点都是知道和n,不同点是第一个公式还需知道,而第二个公式是要知道d,解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

自然数平方和公式的推导与证明(一)12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6,在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题,没有给出其直接的推导过程。

其实,该求和公式的直接推导并不复杂,也没有超出初中数学内容。

一、设:S=12+22+32+…+n2=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2,此步设题是解题另设:S1的关键,一般人不会这么去设想。

有了此步设题,第一:S=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S,1(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22)+( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2,即=2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1)S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为:第二:S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2,其中:S122+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+(22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3 )由(2)+ (3)得:=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4)S1由(1)与(4)得:2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n即:6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]= n(2n2+3n+1)= n(n+1)(2n+1)S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即:S=12+22+32+...+n2= n(n+1)(2n+1)/6 (5)以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6,其中n为最后一位自然数。

由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3,其中2n为最后一位自然数。

由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3,其中2n-1为最后一位自然数。

二、由自然数平方和公式推导自然数立方和公式设S=13+23+33+...+n3. (1)有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+...+13 (2)由(1)+ (2)得:2S=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+…+n3+13=(n+1)(n2-n+1)+(n+1)[(n-1)2-2(n-1)+22)+(n+1)[(n-2)2-3(n-2)+32)+...+(n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+ n2)即2S=( n+1)[2(12+22+32+…+n2)-n-2(n-1) -3(n-2)-…-n(n-n+1)] (3)由12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/ 6代入(2)得:2S=(n+1)[2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-…nn+2×1+3×2+…+n(n-1)]=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+…n)+(1+1)×1+(2+1)×2+…+(n-1+1)(n -1)]=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2 (1+n)/2+12+1+22+2+…+(n-1)2+ (n-1)]=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+22+…+(n-1)2+1 +2+…+(n-1)] (4)由12+22+…+(n-1)2= n(n+1)(2n+1)/6-n 2,1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得:2S=(n+1)[3n(n+1)(2n+1)/6-n2+n(n-1)/2=n2(n+1)2/2即S=13+23+33+…+n3= n2(n+1)2/4结论:自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4,其中n为自然数。

三、自然数偶数立方和公式推导设S=23+43+63+…+(2n)3有S=23(13+23+33+…+n3)=8n2(n+1)2/4=2n2(n+1) 2结论:自然数偶数的立方和公式为2n2(n+1)2,其中2n为最后一位自然偶数。

四、自然数奇数立方和公式推导设S=13+23+33+…+(2n) 3由自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4,其中n为自然数代入左边有n2(2n+1)2=23+43+63+…+(2n) 3+13+33+53…+(2n-1)3=2n2(n+1)2+13+33+53…+(2n-1)3移项得:13+33+53…+(2n-1)3 =n2(2n+1)2-2n2(n+1)2=n2(2n2-1)结论:自然数奇数的立方和公式为n2(2n2-1),其中2n-1为最后一位自然奇数,即n的取值。

自然数平方和公式的推导与证明(二)这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。

1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=? (n^2表示n×n=n2为了好打字)一、推导1、直接推导:1+2+3+4+……+n=(1+n)*n/2+ +2+3+4+……+n=(2+n)*(n-1)/2+ +3+4+……+n=(3+n)*(n-2)/2+ +. .. .(i+1)+……+n=(n+i+1)*(n-i)/2 (i=0,……,n-1)|| ||S = (2*n^3+3*n^2+n-2S)/4两边求一下得所求S此法较为直观正规2、用其他的公式推导:容易证明1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +...+ nx(n+1)=1/3xn(n+1)(n+2)(数学归纳法易证,而左式可写成1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + nx(n+1)=(1x1 + 2x2 + ... + nxn)+(1+2+...+n) 于是1x1 + 2x2 + ... + nxn=1/3xn(n+1)(n+2)-1/2xn(n+1)=1/6xn(n+1)(2n+1) 3、二项式推导:2^3=1^3+3*1^2+3*1+13^3=2^3+3*2^2+3*2+14^3=3^3+3*3^2+3*3+1.......(n+1)^3=n^3+3*n^2+3^n+1sum up both sides substract common terms:(n+1)^3=3*b+3*(n+1)*n/2+n+1==> solve for bb=1^2+2^2+...+n^2此法需要较强的基本功,属奥妙之作4、立方差公式推导(此法高中生都能看懂吧)5、用现成恒等式推导二、证明1、数学归纳法1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 当n=1时,显然成立.设n=k时也成立,即:1^2+2^2+3^2+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6那么当n=k+1时,等式的左边等于:1^2+2^2+3^2+……+k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)[k(2k+1)/6+(k+1)]=(k+1)[2k^2+k+6k+6]/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6而等式的右边等于:(当n=k+1时)(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6即当n=k+1时,等式左边等于等式的右边所以对于一切n,等式都成立此法给初中和小学生讲是没法了,现在的教育之痛,用某小学老师的话来说,小学生的题是出给家长作的,呜~,砖家当道啊,有没有满足他们拔苗助长嗜好的奥数方法呢2、图形法计算12+22+32+42。

根据平方的含义和乘法的含义,我们可以将这个算式改写:12=1×1=1、22=2×2=2+2、32=3×3=3+3+3、42=4×4=4+4+4+4,则12+22+32+42=1+2+2+3+3+3+4+4+4+4。

把这10个加数排写在一个三角形内(图1),计算这个算式的和,就是计算这个三角形内所有数的和。

(其实学生如果会算自然数n项和,下面的说明就可省了,不过想个个学生成高斯,结果个个搞死了,呵呵)我们对图1进行两次“复制”,得到两个和图1完全相同的三角形,把其中一个逆时针旋转60°得到图2,另一个顺时针旋转60°得到图3。

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