这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。

1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=? （n^2表示n×n＝n2为了好打字）
一、推导
1、直接推导：
1+2+3+4+……+n=(1+n)*n/2
+ +
2+3+4+……+n=(2+n)*(n-1)/2
+ +
3+4+……+n=(3+n)*(n-2)/2
+ +
. .
. .
(i+1)+……+n=(n+i+1)*(n-i)/2 (i=0,……,n-1)
|| ||
S = (2*n^3+3*n^2+n-2S)/4
两边求一下得所求S
此法较为直观正规
2、用其他的公式推导：
容易证明1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +...+ nx(n+1)=1/3xn(n+1)(n+2)(数学归纳法易证，而左式可写成
1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + nx(n+1)=(1x1 + 2x2 + ... + nxn)+(1+2+...+n) 于是
1x1 + 2x2 + ... + nxn=1/3xn(n+1)(n+2)-1/2xn(n+1)=1/6xn(n+1)(2n+1) 3、二项式推导：
2^3=1^3+3*1^2+3*1+1
3^3=2^3+3*2^2+3*2+1
4^3=3^3+3*3^2+3*3+1
.......
(n+1)^3=n^3+3*n^2+3^n+1
sum up both sides substract common terms:
(n+1)^3=3*b+3*(n+1)*n/2+n+1==> solve for b
b=1^2+2^2+...+n^2
此法需要较强的基本功，属奥妙之作
4、立方差公式推导（此法高中生都能看懂吧）
5、用现成恒等式推导
二、证明
1、数学归纳法
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 当n=1时,显然成立.
设n=k时也成立,即:
1^2+2^2+3^2+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
那么当n=k+1时,等式的左边等于:
1^2+2^2+3^2+……+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)[k(2k+1)/6+(k+1)]
=(k+1)[2k^2+k+6k+6]/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
而等式的右边等于:(当n=k+1时)
(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
即当n=k+1时,等式左边等于等式的右边
所以对于一切n,等式都成立
此法给初中和小学生讲是没法了，现在的教育之痛，用某小学老师的话来说，小学生的题是出给家长作的，呜～，砖家当道啊，有没有满足他们拔苗助长嗜好的奥数方法呢
2、图形法
计算12＋22＋32＋42。

根据平方的含义和乘法的含义，我们可以将这个算式改写：12=1×1=1、22=2×2=2＋2、32=3×3=3＋3＋3、42=4×4=4＋4＋4＋4，则12＋22＋32＋42=1＋2＋2＋3＋3＋3＋4＋4＋4＋4。

把这10个加数排写在一个三角形内（图1），计算这个算式的和，就是计算这个三角形内所有数的和。

（其实学生如果会算自然数n项和，下面的说明就可省了，不过想个个学生成高斯，结果个个搞死了，呵呵）
我们对图1进行两次“复制”，得到两个和图1完全相同的三角形，把其中一个逆时针旋转60°得到图2，另一个顺时针旋转60°得到图3。

先把图2和图3重合，得到图4。

图4中，重合的两个图形相对应位置的两个数相加，它们的和有什么规律呢？我们发现，从上往下看，第一行两个数的和是8，第二行两个数的和都是7，第三行两个数的和都是6，第四行两个数的和都是5。

再把图4和图1重合，得到图5。

从图中可以看出，每个圆圈中都有三个数，这三个数的和都是9，9=2×4＋1。

而10=1＋2＋3＋4=(1＋4)×4÷2。

图5中所有数的和应是图1中所有数的和的3倍，所以图1中所有数的和=9×10÷3=（2×4＋1）×(1＋4)×4÷2÷3=4× (1＋4)×（2×4＋1）×1/6。

即12＋22＋32＋42=4× (1＋4)×（2×4＋1）×1/6。

观察这个算式，用同样的思考方法，我们可推出这样的结论：
12＋22＋32＋42＋……＋n2=n× (1＋n)×（2×n＋1）×1/6
这个不是证明的过程对小学生来说算是证明吧。